¿Qué pasó en esta ecuación?

Answer 1

[matemáticas] \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x + d) – \ sin x} {d} [/ matemáticas]
[math] = \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x \ cos d + \ cos x \ sin d – \ sin x} {d} [/ math]
Reorganizar los términos en el numerador,
[math] = \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x \ cos d – \ sin x + \ cos x \ sin d} {d} [/ math]
Divide el límite
[math] = \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x \ cos d – \ sin x} {d} [/ math] [math] + \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ cos x \ sin d} {d} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sen x \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ cos d – 1} {d} [/ math] [math] + \ cos x \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ sin d} {d} [/ matemáticas]
El primer límite va a 0 y el segundo va a 1, por lo tanto,
[matemáticas] = \ cos x [/ matemáticas]

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Alternativamente, se puede mostrar usando la fórmula:
[matemática] \ sin A – \ sin B = 2 \ cos \ frac {A + B} {2} \ sin \ frac {AB} {2} [/ matemática]

[matemáticas] \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x + d) – \ sin x} {d} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ frac {2 \ cos (x + d / 2) \ sin (d / 2)} {d} [/ matemáticas]
[math] = \ lim_ {d \ rightarrow 0} \ cos (x + d / 2) \ frac {\ sin (d / 2)} {d / 2} [/ math]
[matemáticas] = \ cos x [/ matemáticas]

Answer 2

El límite de una suma es la suma de los límites (siempre que cada uno sea finito).

La primera “ecuación” (que no es una ecuación ya que no hay nada a la izquierda del signo igual) tiene la suma de tres términos en el numerador del límite. La segunda “ecuación” tiene dos límites. El primero tiene dos términos en el numerador y el segundo límite tiene un término. No es nada más emocionante que:
[matemáticas] \ lim \ frac {a + b + c} {d} = \ lim \ left [\ frac {a + c} {d} + \ frac bd \ right] [/ math] [matemáticas] = \ lim \ left [\ frac {a + c} {d} \ right] + \ lim \ left [\ frac bd \ right] [/ math]