Cualquier ecuación de la forma [matemáticas] Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 [/ matemáticas] describe una elipse siempre que el discriminante [matemáticas] B ^ 2-4AC <0 [/ matemáticas]. (Aquí [math] A [/ math] es diferente de [math] A [/ math] en su pregunta). Probemos esa condición. Tenemos [matemática] A = 1 [/ matemática], [matemática] B = -2 \ cos 2 \ phi [/ matemática], [matemática] C = 1 [/ matemática], entonces [matemática] B ^ 2-4AC = 4 \ cos ^ 2 2 \ phi – 4 = 4 (\ cos ^ 2 2 \ phi -1) = -4 \ sin ^ 2 \ phi \ le 0 [/ math] con igualdad si y solo si [math] \ phi = \ pi k [/ math], [math] k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots [/ math]. Entonces, la respuesta es que la ecuación describe una elipse, excepto los valores de [math] \ phi [/ math] cuando la ecuación se convierte en [math] (xy) ^ 2 = 0 [/ math] que describe una línea.
Normalmente para encontrar la longitud de los ejes tienes que hacer un poco más de álgebra, pero hay un truco geométrico que funciona bien en este caso. Tenga en cuenta que la ecuación no cambia si cambio [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], por lo que la elipse tiene la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] como una línea de simetría. Eso solo es posible si un eje de la elipse se encuentra a lo largo de esa línea. Las intersecciones de la elipse con esa línea se encuentran resolviendo [matemáticas] x ^ 2 + x ^ 2-2x ^ 2 \ cos ^ 2 2 \ phi = A ^ 2 \ sin ^ 2 2 \ phi [/ matemáticas], en otras palabras [matemáticas] 2x ^ 2 (1- \ cos ^ 2 2 \ phi) = A ^ 2 \ sin ^ 2 2 \ phi [/ matemáticas]. (Aquí [matemáticas] A [/ matemáticas] es ahora la [matemáticas] A [/ matemáticas] en su pregunta.) Simplificando, [matemáticas] 2x ^ 2 \ sin ^ 2 2 \ phi = A ^ 2 \ sin ^ 2 2 \ phi [/ matemáticas]. Dividiendo a través de [math] \ sin ^ 2 2 \ phi [/ math], que es posible si no estamos en el caso patológico de no elipse del párrafo anterior, tenemos [math] x = \ pm A / \ sqrt {2} [/ math]. Los puntos de la elipse en el eje son [matemática] (A / \ sqrt {2}, A / \ sqrt {2}) [/ matemática] y [matemática] (- A / \ sqrt {2}, – A / \ sqrt {2}) [/ math], por lo que la longitud del eje es [math] 2A [/ math].
Cálculos similares funcionan para el eje en la línea [math] y = -x [/ math]. En ese caso obtenemos [matemáticas] 2x ^ 2 + 2x ^ 2 \ cos ^ 2 2 \ phi = A ^ 2 \ sin ^ 2 2 \ phi [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ 2 = A ^ 2 \ sin ^ 2 2 \ phi / 2 (1+ \ cos ^ 2 2 \ phi) [/ math], [math] x = A \ sin 2 \ phi / \ sqrt {2 (1+ \ cos ^ 2 2 \ phi) } [/ math], longitud del eje [math] 2A \ sin 2 \ phi / \ sqrt {1 + \ cos ^ 2 2 \ phi} [/ math].
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