¿Es posible resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 3 – 6 x ^ 2 + 3x + 10 = 0 [/ matemáticas] sin la ayuda del método hit-and-trial?

Answer 1

Voy a mencionar TRES respuestas posibles, una con papel y lápiz, y dos con una calculadora gráfica como la TI-84.

PAPEL Y LAPIZ:

No tiene que hacer prueba y error en todos los factores posibles si usamos algo de sentido común.

Sabemos que, si tiene tres factores, esta ecuación se puede factorizar:

x³ – 6x² + 3x + 10 = 0

(Ax + a) (Bx + b) (Cx + c) = 0

Comencemos con A, B y C. Sabemos que Ax ∙ Bx ∙ Cx debe ser igual a x³, por lo que A, B y C son iguales a 1.

x³ – 6x² + 3x + 10 = 0

(x + a) (x + b) (x + c) = 0

¿Qué sabemos sobre a, byc? El producto a ∙ b ∙ c debe ser igual a 10. ¿Cuáles son los únicos factores enteros de 10? 1, 2, 5 y 10. También sabemos, dado que la constante en esta ecuación es positiva, que los signos de a, byc deben ser todos positivos, o exactamente dos de ellos serán negativos.

El hecho de que el 6 sea negativo nos dice que al menos uno de esos tres números debe ser negativo, entonces, ¿qué sabemos ahora?

a, byc deben ser iguales a ± 1, ± 2, ± 5 o ± 10, con dos de ellos negativos. Supongo que ± 10 probablemente no sea uno de estos valores, así que comencemos probando (x-2) o (x-5) o (x-1) como factor potencial.

Voy a parar aquí y dejar que continúes desde aquí. No necesita adivinar y verificar CADA factor posible, solo unos pocos, y una vez que sepa que un factor es bueno, podrá usar la fórmula cuadrática para descubrir los otros dos.

MÉTODO DE GRAFADO CALCULADORA

Podría, por supuesto, graficar la ecuación en su calculadora gráfica, lo que nos da esta pantalla:

Sin embargo, recuerde que estas soluciones son lo opuesto a los valores a, byc que estamos buscando. Estas soluciones, x = -1, x = 2 yx = 5, nos dan nuestros factores, (x + 1) (x-2) (x-5).

MÉTODO DE CALCULADORA PROGRAMABLE

Si su calculadora le permite almacenar valores en variables, puede usar la ventana de entrada principal para verificar el valor de la ecuación para cada uno de varios valores. Utilice el método resumido anteriormente para determinar los valores potenciales, luego pruebe esos valores, o simplemente podría probar cada valor entero posible entre -10 y 10.

Esta pantalla muestra cómo probé X = 1, X = 2, X = 5 y X = 10. Los únicos valores cero ocurrieron para X = 2 y X = 5, por lo que esto nos dice que (x-2) (x-5) son dos de los factores.

Practica todos los métodos que aprendas. Puede ser muy útil para usted más adelante.

Answer 2

De hecho, esta ecuación se puede resolver con bastante facilidad. El primer paso en la solución general de ecuaciones cúbicas es completar el cubo: reemplazar los dos primeros términos, [matemática] x ^ 3 + px ^ 2 [/ matemática], con [matemática] (x + p / 3) ^ 3- (p ^ 2/3) xp ^ 3/27 [/ matemáticas]. Aquí, [matemáticas] p = -6 [/ matemáticas], y por lo tanto obtenemos

[matemáticas] (x-2) ^ 3-9x + 18 = 0 [/ matemáticas],

o

[matemáticas] (x-2) ^ 3-9 (x-2) = 0 [/ matemáticas],

que se puede factorizar más como

[matemáticas] (x-2) [(x-2) ^ 2-9] = 0 [/ matemáticas].

Sus soluciones están dadas por [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] (x-2) ^ 2 = 9 [/ matemáticas], esta última resuelta por [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas] y [matemáticas ] x = -1 [/ matemáticas].

Answer 3

Por supuesto, pero es posible que desee factorizar el polinomio en el lado izquierdo primero. Sin embargo, con los polinomios cúbicos o de mayor grado, generalmente no me molesto en intentarlo. En cambio, uso la factorización numérica , en lugar de la factorización algebraica . Eso significa que sustituimos un valor por x. (Puede que no sea la respuesta, porque nuestro objetivo aquí es encontrar la factorización)

Una buena elección del número será 10, porque no desperdiciaría mucho esfuerzo, y simplemente puede calcularlo en 440 si x es igual a 10.

[matemáticas] 440 = 2 ^ 3 \ veces 5 \ veces 11 [/ matemáticas]

Luego elegimos factores razonablemente cercanos a 10, y mira, la expresión anterior podría ser una de las formas en que funcionaría. Entonces

[matemáticas] 440 = (10-2) (10-5) (10 + 1) [/ matemáticas]

Entonces, el polinomio en el lado izquierdo se puede factorizar en [matemáticas] (x-2) (x-5) (x + 1) [/ matemáticas], (y puede verificar con una de las raíces para asegurarse de que es correcto), y luego obtienes las raíces como 2, 5 y -1.

Answer 4

Probemos la fórmula de Cardan (si realmente quieres un método general, sin prueba y error). Función cúbica

Dado [matemáticas] f (x) = x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas].
Primero elimine el término [math] x ^ 2 [/ math] aplicando [math] x = y- \ dfrac {a} {3} [/ math], tenemos
[matemáticas] f (x) = f (y- \ dfrac {a} {3}) = y ^ 3 + py + q = 0 [/ matemáticas], donde
[matemáticas] p = b- \ dfrac {a ^ 2} {3} [/ matemáticas], [matemáticas] q = c – \ dfrac {ba} {3} + \ dfrac {2a ^ 3} {27} [/ matemáticas].

Entonces podemos encontrar tres soluciones [matemáticas] y [/ matemáticas] para ser,
[matemáticas] y_1 = \ sqrt [3] {A} + \ sqrt [3] {B} [/ matemáticas], [matemáticas] y_2 = \ omega \ sqrt [3] {A} + \ omega ^ 2 \ sqrt [ 3] {B} [/ matemáticas], [matemáticas] y_3 = \ omega ^ 2 \ sqrt [3] {A} + \ omega \ sqrt [3] {B} [/ matemáticas],
dónde
[matemáticas] A = – \ dfrac {q} {2} + \ sqrt {\ dfrac {q ^ 2} {4} + \ dfrac {p ^ 3} {27}} [/ matemáticas], [matemáticas] B = – \ dfrac {q} {2} – \ sqrt {\ dfrac {q ^ 2} {4} + \ dfrac {p ^ 3} {27}} [/ math],
[matemáticas] \ sqrt [3] {A} \ cdot \ sqrt [3] {B} = – \ dfrac {p} {3} [/ matemáticas], [matemáticas] \ omega = \ dfrac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} [/ math].

Para este problema [matemática] a = -6, \, \, b = 3, \, \, c = 10 [/ matemática]. Podemos encontrar [matemáticas] p = -9, \, \, q = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] A = i \ sqrt {3 ^ 3}, \, \, B = -i \ sqrt {3 ^ 3} [/ matemáticas], [matemáticas] \ sqrt [3] {A} = -i \ sqrt {3}, \, \, \ sqrt [3] {B} = i \ sqrt {3} [/ matemáticas] y [matemática] \ {y_1 = 0, y_2 = 3, y_3 = -3 \} [/ matemática]. Así [matemáticas] \ {x_1 = 2, x_2 = 5, x_3 = -1 \} [/ matemáticas],

[matemática] x ^ 3-6x ^ 2 + 3x + 10 = (x-2) (x-5) (x + 1) = 0 [/ matemática].

Answer 5

Por método de prueba y éxito, ¿te refieres a verificar los ocho divisores de 10? (1,2,5,10, y sus negativos)

Hay fórmulas cúbicas, al igual que la fórmula cuadrática, pero son un poco más complicadas y a veces introducen sumas de números imaginarios que obviamente no son números reales.

Answer 6

Puede ver que la expresión dada se parece mucho a (x-2) en cubos.
Es igual a (x-2) ^ 3 -9x + 18 = 0
Así (x-2) [(x-2) ^ 2-9] = 0
Dando raíces 2,5, -1.

Answer 7

Digamos que no conoce la fórmula cúbica, la fórmula de Cardan, el método de Newton, etc., pero recuerda vagamente de la escuela que [matemáticas] (x + a) (x + b) = x ^ 2 + (a + b) x + ab [/ math], por lo que sospecha que un polinomio de tercer grado podría factorizarse en [math] (x + a) (x + b) (x + c) [/ math], en cuyo caso [math] – a [/ math], [math] -b [/ math] y [math] -c [/ math] serían las raíces.

Entonces tomas un pedazo de papel y multiplicas [matemática] (x + a) (x + b) (x + c) [/ matemática] y obtienes [matemática] x ^ 3 + (a + b + c) x ^ 2 + (ab + ac + bc) x + abc [/ matemáticas]

Comparando eso con [matemáticas] x ^ 3-6x ^ 2 + 3x + 10 [/ matemáticas], confirma que el coeficiente de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] es 1 en ambas expresiones. Bueno. Ahora, para los otros coeficientes, vemos que:

[matemáticas] (a + b + c) = – 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] (ab + ac + bc) = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] abc = 10 [/ matemáticas]

Ahora, si [matemáticas] a + b + c = -6 [/ matemáticas], entonces al menos una de esas tres variables tiene que ser negativa.

Pero [math] abc = 10 [/ math], entonces una de las otras variables también debe ser negativa.

Adivinando / esperando / asumiendo que las raíces van a ser enteras (porque a menudo están en este tipo de preguntas), busca factores de 10 para satisfacer ese [math] abc = 10 [/ math] bit. [math] 1 \ times2 \ times5 [/ math] y [math] 1 \ times1 \ times10 [/ math] son ​​las únicas combinaciones que encuentra. (Debo mencionar aquí que en todas las expresiones anteriores a, byc son intercambiables, por lo que no importa qué valor asigne a a, a qué b y a qué c).

OK, entonces no hay forma de que puedas satisfacer [matemáticas] (a + b + c) = – 6 [/ matemáticas] con dos 1s y un 10, PERO un 1, un 2 y un 5, con dos de ellos negativos , hará el truco [matemáticas] 1 + (- 2) + (- 5) [/ matemáticas] es de hecho igual a -6.

Una verificación rápida verifica que [matemáticas] (1 (-2) +1 (-5) + (- 2) (- 5)) = (- 2-5 + 10) = 3 [/ matemáticas], lo que satisface [matemáticas ] (ab + ac + bc) = 3 [/ matemáticas]

¡Factorización completa! Ahora sabemos [matemáticas] x ^ 3-6x ^ 2 + 3x + 10 = (x + 1) (x-2) (x-5) [/ matemáticas]. Para que sea igual a cero, cualquiera de esos tres corchetes debe evaluarse a cero, por lo que las respuestas son -1, 2 y 5.

Answer 8

La regla de los signos te dice que hay 2 o 0 ceros reales positivos y exactamente 1 cero real negativo. Si puedes encontrar ese cero negativo, divide y luego resuelve el cociente, que será cuadrático.

Un bosquejo rápido (o un gráfico de signos) muestra que la solución negativa es -1. Ahora puede pasar a la cuadrática.

Answer 9

Deje que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] sean raíces del polinomio cúbico

[matemáticas] a + b + c = – \ dfrac {-6} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a + b + c = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab + bc + ca = \ dfrac {3} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ab + bc + ca = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] abc = – \ dfrac {10} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica abc = -10 [/ matemáticas]

La prueba de cero racional nos dice que los posibles ceros racionales son [math] \ pm \ {1,2,5,10 \} [/ math]

Elija cuidadosamente los valores de [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas]

Si dejamos [matemática] a = 5, b = 2 [/ matemática] y [matemática] c = -1 [/ matemática] tenemos [matemática] a + b + c = 6 [/ matemática], poniéndolos en [math] abc [/ math] produce [math] -10 [/ math]

Answer 10

El análisis factorial resuelve el problema algunas veces, pero es difícil ver la solución cuando se trata de x * x * x …
Entonces puedes analizar la parte izquierda de la ecuación:
Primero puede tomar un diferencial a la izquierda del polinomio. Con los puntos extremos, haga un boceto en el papel y conozca cómo se ve la cuerda.
Y luego puedes averiguar dónde están los puntos cero, aproximadamente. Finalmente, haces el hit-and-trial para averiguarlo.
Por lo general, la solución ahora es fácil de encontrar, a veces no. Usas software. Personal, prefiero Sagemath.
Escriba el comando:
resolver (x * x * x-6 * x * x + 3 * x + 10 == 0, x)
[x == 2, x == -1, x == 5] ———– (resultados dados por sagemath)

Answer 11

El método de Newton, el método de Lagrange, el método de Cardano …
Y un montón de otros métodos para resolver ecuaciones cúbicas (y también de mayor grado).