Si dibuja un gráfico de la función, tendrá una solución única si el gráfico cruza el eje y una vez.
Las condiciones reales son complejas.
Para el grado 1, y = ax + b, siempre tendrá una solución única a menos que a = 0.
Para las cuadráticas, solo tendrá una solución única si tiene la forma y = A (xd) ^ 2. En particular, si toma Δ discriminante de ax cuadrática ^ 2 + bx + c, que es Δ = b ^ 2 – 4 ac, la ecuación tendrá 2 soluciones si Δ> 0, una solución única si Δ = 0, y ninguna solución si Δ <0.
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Para los cúbicos y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d. Siempre habrá un número impar de soluciones, pero puede haber una o tres soluciones. Si puede factorizar la ecuación como y = A (xe) (x – f) (x – g), entonces tiene tres soluciones. Nuevamente miramos el Discriminante del polinomio que para los cúbicos es [matemáticas] \ Delta = b ^ {2} c ^ {2} -4ac ^ {3} -4b ^ {3} d-27a ^ {2} d ^ {2} + 18abcd [/ math] Esto divide el espacio en varias regiones.
La superficie anterior es el conjunto de todos los valores (b, c, d) para los cuales el polinomio x ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d tiene raíces repetidas, es decir, dos raíces. Los conjuntos de valores (b, c, d) dentro de la forma de la cúspide corresponden a aquellos con tres raíces y los que están fuera de la forma corresponden a aquellos con una sola raíz.
Se vuelve más complejo a medida que avanzas. La regla de signos de Descartes puede darte una respuesta parcial y el teorema de Sturm también puede ayudarte.
Para el grado 4, un polinomio cuártico general se puede transformar en forma reducida [matemáticas] x ^ 4 + ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] mediante el cambio de coordenadas. El discriminante de esto es [matemáticas] -4 a ^ 3 b ^ 2 – 27 b ^ 4 + 16 a ^ 4 c -128 a ^ 2 c ^ 2 + 144 ab ^ 2 c + 256 c ^ 3 = 0 [/ matemáticas] Esto da una superficie de Swallowtail
Los puntos en esta superficie corresponden a polinomios con una raíz repetida, el borde cuspidal corresponde a polinomios con una raíz triple y la auto intersección a los polinomios con dos raíces repetidas diferentes.
He generado estas superficies usando mi programa SingSurf.