¿Cuándo una ecuación tiene una solución única?

Si dibuja un gráfico de la función, tendrá una solución única si el gráfico cruza el eje y una vez.

Las condiciones reales son complejas.

Para el grado 1, y = ax + b, siempre tendrá una solución única a menos que a = 0.

Para las cuadráticas, solo tendrá una solución única si tiene la forma y = A (xd) ^ 2. En particular, si toma Δ discriminante de ax cuadrática ^ 2 + bx + c, que es Δ = b ^ 2 – 4 ac, la ecuación tendrá 2 soluciones si Δ> 0, una solución única si Δ = 0, y ninguna solución si Δ <0.

Para los cúbicos y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d. Siempre habrá un número impar de soluciones, pero puede haber una o tres soluciones. Si puede factorizar la ecuación como y = A (xe) (x – f) (x – g), entonces tiene tres soluciones. Nuevamente miramos el Discriminante del polinomio que para los cúbicos es [matemáticas] \ Delta = b ^ {2} c ^ {2} -4ac ^ {3} -4b ^ {3} d-27a ^ {2} d ^ {2} + 18abcd [/ math] Esto divide el espacio en varias regiones.


La superficie anterior es el conjunto de todos los valores (b, c, d) para los cuales el polinomio x ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d tiene raíces repetidas, es decir, dos raíces. Los conjuntos de valores (b, c, d) dentro de la forma de la cúspide corresponden a aquellos con tres raíces y los que están fuera de la forma corresponden a aquellos con una sola raíz.

Se vuelve más complejo a medida que avanzas. La regla de signos de Descartes puede darte una respuesta parcial y el teorema de Sturm también puede ayudarte.

Para el grado 4, un polinomio cuártico general se puede transformar en forma reducida [matemáticas] x ^ 4 + ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] mediante el cambio de coordenadas. El discriminante de esto es [matemáticas] -4 a ^ 3 b ^ 2 – 27 b ^ 4 + 16 a ^ 4 c -128 a ^ 2 c ^ 2 + 144 ab ^ 2 c + 256 c ^ 3 = 0 [/ matemáticas] Esto da una superficie de Swallowtail


Los puntos en esta superficie corresponden a polinomios con una raíz repetida, el borde cuspidal corresponde a polinomios con una raíz triple y la auto intersección a los polinomios con dos raíces repetidas diferentes.

He generado estas superficies usando mi programa SingSurf.

Una ecuación de la forma [math] f (x) = 0 [/ math] tiene una solución única si solo hay un valor de [math] x [/ math] para el cual la ecuación es verdadera.

Gráficamente, esto se puede ver dibujando [math] y = f (x) [/ math] y buscando lugares donde corta el eje [math] x [/ math] (es decir, donde [math] y = 0 [/matemáticas]).

Richard Morris ha escrito una excelente publicación que describe el tipo de desafíos que enfrenta en el caso de un polinomio, y para otras funciones en general es aún peor, aunque siempre puede hacer todo lo posible para “descomponer” la función y ver si puede Encuentra más detalles.

A menudo, puede decirse que debe haber al menos una solución en un dominio dado simplemente comprobando los valores de la función en los puntos finales del dominio y comprobando una condición suficiente en la derivada, puede probar que existe como máximo una solución en el dominio también. Esto equivale a mostrar que la función es positiva aquí, negativa allí y su pendiente no cambia de signo en ningún punto intermedio.

Como puede imaginar, en el espacio de todas las funciones diferenciables, no hay muchas para las que eso sea globalmente cierto.

Ok, voy a simplificar esto a ecuaciones con solo una variable desconocida ‘x’. Y cualquier ecuación se puede simplificar a f (x) = 0. Entonces, la respuesta simple es que cada punto de cruce de la gráfica de y = f (x) con el eje y = 0 es una solución.

Es fácil ver que si la gráfica es una línea (f (x) = ax + b, a <> 0) siempre tiene exactamente un corte transversal en -b / a.

Por cada grado que agregue, hay un posible punto de inflexión adicional, por lo que la gráfica puede girar y cruzar el eje en otro momento, por ejemplo, f (x) = ax ^ 2 + bx + c puede tener 2 raíces reales, f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d puede tener 3 etc.

Para el segundo grado, la trama es una parábola, por lo que no puede tener soluciones (completamente por encima o por debajo del eje), dos soluciones (cruzando el eje) o una solución única si solo besa el eje. Este es solo el caso si la ecuación puede reescribirse como f (x) = (a’x + b ‘) ^ 2. Este es el caso IIRC si c = b ^ 2 / 4a.

Para los polinomios de tercer grado, hay un punto de cruce único o tres, pero la regla no es tan simple IIRC.

Si incluimos números imaginarios, un polinomio de grado n tiene una solución única si y solo si puede reescribirse como f (x) = (a’x + b ‘) ^ n.