¿Por qué no se construyen los números naturales simplemente anidando el conjunto vacío?

Answer 1

ZF define los números naturales de la manera que es porque simplifica muchas cosas. Hay sutilezas que nos permiten reducir muchos de los axiomas de la aritmética en operaciones en la teoría de conjuntos.

Por ejemplo, puede definir un pedido:

[matemáticas] a \ le b [/ matemáticas] como [matemáticas] a \ subseteq b [/ matemáticas]

donde la operación teórica de conjunto [math] \ subseteq [/ math] crea un orden total.

Sin duda, puede hacer algo similar al anidar el conjunto vacío, pero sería más complicado. Por ejemplo:

[matemáticas] a \ le b [/ matemáticas] como [matemáticas] \ existe n, s ^ ​​n (a) = b [/ matemáticas]

puede estar bien, excepto que todavía no hemos definido los números naturales, entonces, ¿cuál sería n? En última instancia, podemos llegar allí, pero se necesita más maquinaria que simplemente usar la convención de ZF.

Como resultado, hay varias otras sutilezas más allá de esto, pero la próxima vez …: p

Answer 2

Bueno, en realidad no se generaliza bien a ordinales infinitos, por lo que es un argumento bastante serio en su contra. La extensión natural de esta definición haría que el primer ordinal infinito se contuviera, lo que violaría el axioma de la regularidad.

Answer 3

Originalmente era una representación anidada, pero evolucionó rápidamente a algo más viable. El primero condujo a absurdos como [math] 0 \ in 1 \ in 2 \ in 3 \ in \ cdots [/ math]. El último, a absurdos como [math] 0 \ subset 1 \ subset 2 \ subset 3 \ subset \ cdots [/ math]. Si estos, lo que yo llamo “teoremas de basura”, te molestan, pueden evitarse simplemente comenzando con los Axiomas de Peano como la definición del conjunto natural de las naturalezas naturales (mi preferencia).

Answer 4

Debido a que querían que los números naturales se eligieran de un conjunto de valores posibles, eso se hace crecer iterativamente para que la cardinalidad de ese conjunto sea igual al número que se está considerando, al tiempo que se aumentan los conjuntos de potencia de los cuales cada secuencia, de tales valores, de cualquier longitud entera positiva se puede elegir. Esa relación tampoco se basa en la existencia de los números mismos. Todo lo que requiere es la existencia de un algoritmo que pueda llevarlo desde un conjunto de tamaño n hasta n + 1, al tomar la última expansión parcial del conjunto de potencia y concatenarla al final de sí misma
{} = 0
{{}} = 1
{{}, {{}}} = 2
…

Y, ahora, también tenemos un conjunto de conjuntos de los cuales se pueden seleccionar estos valores, de forma aleatoria o de cualquier manera que pueda elegir.

Además, hablando sobre la elección, esto podría ser permitir que el axioma de elección funcione para singletons y subsecuencias, simultáneamente.

Si solo tiene el anidamiento, no sé si puede aceptar simultáneamente la existencia de secuencias de longitud variable. Ciertamente, no todos son accesibles en cada paso de la iteración. Puede ser difícil, con una lógica como esta, formar declaraciones razonables sobre la probabilidad, porque el tamaño de las secuencias parece ser fijo, sin ninguna opción, excepto a través de una iteración adicional.

Answer 5

Gracias por A2A. Supongo que necesita que estos conjuntos tengan una cardinalidad diferente para que esta construcción tenga sentido. No es el caso con su construcción.

Actualización: aunque la condición antes mencionada puede no ser necesaria desde el punto de vista puramente lógico, los matemáticos tienden a identificar objetos que son isomórficos. Y el isomorfismo natural en la categoría de conjuntos es la biyección. Desafortunadamente, su definición no respeta este hecho, por lo que me parece antinatural. La matemática no se trata de objetos, se trata de relaciones. Esas definiciones que se basan en la naturaleza de los objetos son malas.

Answer 6

Es una construcción válida, equivalente a todas las demás, y debido a Zermelo. Ver “Otras construcciones” en http://en.m.wikipedia.org/wiki/N …