Como Danya Rose escribió, eso es tan sucinto como se puede afirmar. Sin embargo, si las ecuaciones diferenciales son nuevas para usted, puede haber una ligera curva de aprendizaje en la comprensión / interpretación de las soluciones para ellas. Hasta cierto punto, puede parecer extraño hacer ejercicios que en realidad no devuelven una solución definitiva (al menos, me lo hizo). En cualquier caso, puede resultarle útil discretizar entre los tipos de soluciones que puede esperar lograr al estudiar ecuaciones diferenciales. La solución general es simplemente esa solución que se logra resolviendo una ecuación diferencial en ausencia de condiciones iniciales. La última cláusula es crítica: es precisamente debido a la falta de condiciones iniciales que solo se puede calcular una solución general.
Las condiciones iniciales simplemente definen un dato o (más a menudo) varios datos que proporcionan restricciones exactas sobre la solución general para especificar la solución exacta o particular , prevista entre un número posiblemente infinito codificado solo por la solución general. Por ejemplo, algunas ODE arbitrarias de segundo orden pueden tener como condiciones iniciales [matemáticas] [matemáticas] y \ left (0 \ right) = 1 [/ math] y [math] y ^ {\ prime} \ left (0 \ right ) = 2 [/ matemáticas] [/ matemáticas]. Los números son irrelevantes; es solo para ayudarlo a saber cómo reconocer cuándo debe buscar una solución particular en lugar de una general.
Y, por supuesto, va a decir que la solución particular está necesariamente contenida dentro de la general. (Simplemente, sin condiciones iniciales, que realmente sirven como pares ordenados para más adelante en la solución, no tenemos otro método para descubrir lo particular de lo general).
Aquí hay un ejemplo para ayudar. Mira la figura a continuación.
- ¿Es correcto poner x = 1 en la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden dada?
- ¿Cuál es una manera de mostrar que la siguiente ecuación da el valor 0.infinito para x = 1?
- ¿Cuál es la ecuación más hermosa?
- ¿Cómo resolvería esta ecuación? E (pago) = (1/30) * [(30 + 29 +… + x) – (1 + 2 +… + (x-1))]> = 0?
- ¿Son las ecuaciones de Maxwell relativistas?
Supongamos que teníamos alguna ecuación diferencial, pero no condiciones iniciales. Después de resolver lo que pudimos, llegamos a la solución general :
[matemáticas] y \, = \, c_ {1} x ^ {2} \, + \, c_ {2} x \, + \, c_ {3} [/ matemáticas]
Claramente, todas las tres funciones cuadráticas anteriores se ajustan a esta estructura matemática. Simplemente difieren en los valores de las constantes [matemática] [matemática] c_ {1} [/ matemática], [matemática] c_ {2} [/ matemática] y [matemática] c_ {3} [/ matemática] [/ matemática ] Sin embargo, con la provisión adicional de ciertas condiciones iniciales, es posible que podamos resolver la solución particular . Cómo va la mecánica real de resolverlos, es todo el propósito de su clase (que supongo que está en). Pero esa es la esencia: las soluciones generales se establecerán en una forma que incluya constantes (como los marcadores de posición indexados numéricamente [math] c [/ math] que utilicé anteriormente), mientras que las soluciones particulares serán idénticas excepto en tener valores numéricos exactos en lugares de las constantes arbitrarias de la solución general.