Conjetura: con [matemática] n, m, p, q, k \ in \ mathbb {N} _ + [/ matemática] considere la ecuación [matemática] n ^ {2k + 1} – m ^ {2k} = p ^ 2 [/ matemáticas]; si [math] n = N [/ math] resuelve la ecuación para algunos [math] m [/ math] y [math] p [/ math], entonces hay al menos uno [math] m = qN [/ math] eso resuelve la ecuación con [math] n = N [/ math] y some [math] p [/ math]. ¿Hay una simple (des) prueba?

Answer 1

Gracias por A2A. No, esto no es cierto en general, pero es válido para [matemáticas] k = 1. [/ Matemáticas]

Primero reformulemos el problema.

Suponga que el triple [matemáticas] (n, m, r) \ in \ mathbf {N} ^ 3 [/ matemáticas] satisface la ecuación anterior, es decir, [matemáticas] n ^ {2k + 1} – m ^ {2k} = r ^ 2. [/ matemáticas]

Se pregunta si se pueden encontrar [matemáticas] (q, t) \ en \ mathbf {N} ^ 2 [/ matemáticas] st [matemáticas] n ^ {2k + 1} – q ^ {2k} n ^ {2k} = t ^ 2. [/ matemáticas]

Bueno, reescribiendo la última ecuación obtenemos [matemáticas] n ^ {2k} (n- q ^ {2k}) = t ^ 2. [/ Matemáticas]

Claramente, la última ecuación es equivalente a [math] nq ^ {2k} = s ^ 2 [/ math] para algunos [math] s \ in \ mathbf {N}. [/ Math]

Entonces, su pregunta es equivalente a si [matemáticas] n ^ {2k + 1} = m ^ {2k} + r ^ 2 [/ matemáticas] implica que [matemáticas] n = q ^ {2k} + s ^ 2 [/ matemáticas ] para algunos [math] (q, s) \ in \ mathbf {N} ^ 2. [/ math]

Esto es cierto para [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas].

En este caso, usted sabe que [math] n ^ 3 [/ math] puede escribirse como una suma de dos cuadrados, la pregunta es si [math] n [/ math] puede escribirse como una suma de dos cuadrados.

Pero es un hecho bien conocido que un número natural se puede escribir como una suma de dos cuadrados si f [math] n [/ math] contiene en su descomposición de factores primos solo las potencias de [math] p [/ math] con [math ] p \ equiv 3 \ mod 4 [/ math], ver por ejemplo https: //rutherglen.science.mq.ed…

Claramente [math] n [/ math] y [math] n ^ 3 [/ math] contienen los mismos números primos en su descomposición de factores primos. Además, sus poderes coinciden [matemática] \ mod 2. [/ matemática] Esto termina la prueba.

Sin embargo, no hay razón para que esta conjetura sea cierta en general.

Por ejemplo, para [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] 970 ^ 5 = 3298 ^ 4 + 27210828 ^ 2. [/ Matemáticas]

Pero [math] 970 [/ math] no se puede escribir en la forma [math] n = q ^ {4} + s ^ 2 [/ math]. Puedes verlo simplemente probando [matemáticas] q = 1, 2,3,4,5. [/ Matemáticas]

Answer 2

Considere sustituir esos valores, dadas las condiciones: [matemáticas] N ^ {2k + 1} – q ^ {2k} N ^ {2k} = N ^ {2k} (Nq ^ {2k}) = p ^ 2 [/ matemáticas].

Entonces la pregunta se convierte, dada [matemática] N [/ matemática] y cualquier elección válida de [matemática] p [/ matemática], ¿hay al menos una [matemática] q [/ matemática] tal que [matemática] Nq ^ {2k } [/ math] es un cuadrado perfecto y ¿debe [math] N ^ k [/ math] ser siempre un factor de [math] p [/ math]?

Entonces comenzaría a atacar esos ángulos antes que nada. ¿ Cómo se ve [math] p [/ math] en las soluciones a esta ecuación? Si varío [matemática] n, m, k [/ matemática], entonces las soluciones son siempre que [matemática] p [/ matemática] sea un cuadrado perfecto. Supongamos que soluciono [math] m, k [/ math], ¿qué patrón sigue el valor de [math] n ^ {2k + 1} – m ^ {2k} [/ math] a medida que incremento [math] n [/ matemáticas]. ¿Qué idea puede dar esto?

Es muy tarde en la noche para trabajar mucho más con mucha más claridad, por lo que puedo editar esta respuesta en una fecha posterior si me las arreglo para volver a pensarlo. Tendré curiosidad por saber la respuesta. La teoría de números no es mi campo, por lo que esto no es obvio para mí (si incluso fuera de otra manera).

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Volviendo a esto, no se me ocurre ninguna razón a priori por la cual, para cualquier solución dada, [math] p [/ math] siempre debería poder dividirse por [math] N ^ k [/ math]. Simplemente haciendo una búsqueda directa podría mostrar un contraejemplo, suficiente para refutar la conjetura (es decir, un par [matemática] (N, p) [/ matemática] de tal manera que no haya [matemática] q [/ matemática] tal que [matemática] m = qN [/ matemática] para la cual la solución es válida) Pero eso es (a) sencillo, por lo que probablemente ya lo haya pensado, y (b) poco elegante, aunque un contraejemplo podría proporcionar la idea de decir algo más profundo. También podría, posiblemente, tomarse un tiempo para encontrar un contraejemplo si es cierto para “suficientemente pequeño” [matemáticas] N, p, k [/ matemáticas].

De hecho, considere la solución con [matemáticas] k = 1, N = 5, m = 2, p = 11 [/ matemáticas]. Claramente, como [matemática] m

¿Esto no refuta la conjetura? ¿O una prueba de impermeabilización requiere mostrar que dada la solución para una [matemática] N [/ matemática] y alguna [matemática] m, p [/ matemática] puede haber otras soluciones para diferentes [matemática] m, p [/ matemática] con que [matemática] N [/ matemática] para la cual hay una [matemática] q [/ matemática] tal que [matemática] m = qN [/ matemática] también es una solución?

Si es lo último, entonces esta elección de [matemáticas] k = 1, N = 5 [/ matemáticas] da otras soluciones con [matemáticas] q = 1, p = 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] q = 2, p = 5 [/ math] y no constituye una prueba. ¡Esto es ciertamente divertido!