Cómo simplificar esta ecuación

[matemáticas] 3x ^ 2-2y ^ 2-42x-4y + 133 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (x ^ 2-14x) -2 (y ^ 2 + 2y) + 133 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (x ^ 2-14x + 49) -2 (y ^ 2 + 2y + 1) [/ matemáticas] [matemáticas] + 133-3 \ cdot 49 + 2 \ cdot 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (x-7) ^ 2-2 (y +1) ^ 2 = 12 [/ matemáticas]

[matemática] \ frac {(x-7) ^ 2} {4} – \ frac {(y +1) ^ 2} {6} = 1 [/ matemática]

[matemática] \ left (\ frac {x-7} 2 \ right) ^ 2- \ left (\ frac {y + 1} {\ sqrt 6} \ right) ^ 2 = 1 [/ math]

Usando las transformaciones lineales [math] \ hat x = \ frac {x-7} 2 [/ math] y [math] \ hat y = \ frac {y + 1} {\ sqrt 6} [/ math], obtenemos La hipérbola estándar.

[matemática] \ hat x ^ 2 – \ hat y ^ 2 = 1 [/ math]

Si solo desea traducir la hipérbola para centrarla en el origen sin reescalarla a una hipérbola estándar, deje que [matemática] \ tilde x = x-7 [/ matemática] y [matemática] \ tilde y = {y + 1} [/ math] para obtener:

[matemática] \ left (\ frac {\ tilde x} {2} \ right) ^ 2- \ left (\ frac {\ tilde y} {\ sqrt 6} \ right) ^ 2 = 1 [/ math]

Creo que cometiste un error al completar el cuadrado. Así es como lo haría:

[matemática] 3x ^ 2 – 2y ^ 2 – 42x – 4y + 133 = 0 [/ matemática]
[matemáticas] 3x ^ 2 – 42x – 2y ^ 2 – 4y + 133 = 0 [/ matemáticas]
[matemática] 3 (x ^ 2 – 14x + 49-49) – 2 (y ^ 2 + 2y + 1 – 1) + 133 = 0 [/ matemática]
[matemáticas] 3 (x ^ 2 – 14x + 49) – 3 * 49 – 2 (y ^ 2 + 2y + 1) + 2 * 1 + 133 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 (x-7) ^ 2-147 + 2 (y-1) ^ 2 + 2 + 133 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 (x-7) ^ 2 + 2 (y-1) ^ 2-12 = 0 [/ matemáticas]

O puede decirle a WolframAlpha que se lo haga:
completa el cuadrado 3x ^ 2-2y ^ 2-42x-4y + 133 = 0

Evidentemente, hay una diferencia, ¿no es así?

Deje [matemáticas] S = 3x ^ 2-2y ^ 2-42x-4y + 133 [/ matemáticas]
Para encontrar el centro resuelve las ecuaciones
[matemática] \ frac {\ parcial S} {\ parcial x} = 0 [/ matemática] y [matemática] \ frac {\ parcial S} {\ parcial y} = 0 [/ matemática]

Tenemos
[matemática] \ frac {\ parcial S} {\ parcial x} = 6x-42 [/ matemática]
[matemática] \ frac {\ parcial S} {\ parcial y} = -4y -4 [/ matemática]

Al resolver, obtenemos el centro como [math] (7, -1) [/ math]
Al cambiar el origen a este punto, los términos de primer grado desaparecerán