PROCESAR DE NUEVO:
Después de intentar más, el método de Newton de aprox. No es el camino a seguir. Inspirado por la respuesta de Jered, creo que finalmente entiendo lo que está pasando …
Primero, algunas observaciones básicas:
La respuesta de Jered Wasburn-Moses sugirió dos soluciones a la ecuación
[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-2x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]
Uno de ellos, 1.905 … es su solución, y el otro, 0.671 … es extraño. Esa solución de 0.671, por supuesto, claramente satisface
[matemática] x = \ frac1 {x} – \ sqrt {x} [/ matemática] (Ecuación 2), mientras que la suya satisface su ecuación original
[matemáticas] x = \ frac1 {x} + \ sqrt {x} [/ matemáticas] (Ecuación 1)
Si trato de poner 0.6 en la ecuación 2, NO convergerá a la solución 0.671, ni si pongo 0.7 o más. En otras palabras, la solución es “inestable” para esta segunda ecuación.
Tu ecuación es amable. Está en este formato de “punto fijo”. De hecho, ahora recuerdo haber aprendido sobre teorías de “punto fijo” hace mucho tiempo. (Búscalo en Google). Básicamente, tu ecuación puede reescribirse como
[matemáticas] y = \ frac1 {x} + \ sqrt {x} [/ matemáticas] (Ecuación 3) reunión con la línea de 45 grados
[matemáticas] y = x [/ matemáticas] (ecuación 4)
Haga un diagrama rápido de la ecuación 3 de WolframAlpha, encontrará esto: 
El dominio es, por supuesto, números reales positivos. (Ignore la línea roja para la parte imaginaria de las soluciones x negativas).
Entonces cruza la línea y = x aproximadamente a 1.905 …
Ahora, dé un paso atrás, si la ecuación 3 se modifica a solo [matemática] y = \ frac1 {x} [/ matemática] (ecuación 3b) Entonces, claramente, el punto fijo es x = 1. Sin embargo, no importa qué número comience, si usa la iteración, de todos modos no irá. Diga 5 -> 1/5 -> 5 -> 1/5….
- ¿Para qué se utilizó la primera ecuación?
- ¿Cuál es la ecuación que relaciona la distancia entre 2 imanes y la fuerza = mg ejercida entre sí?
- ¿Cuál es el significado de la solución general de una ecuación diferencial?
- ¿Es correcto poner x = 1 en la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden dada?
- ¿Cuál es una manera de mostrar que la siguiente ecuación da el valor 0.infinito para x = 1?
O si la ecuación 3 se modifica a [matemática] y = \ frac1 {x} – \ sqrt {x} [/ matemática] (ecuación 3c, básicamente el lado derecho de la ecuación 2), y comienza con cualquier número que no sea igual al punto fijo (de 0.671 …), se escapa a ambos lados de la solución.
Entonces, este “milagro” no es tan milagroso después de todo. Es algunas propiedades generales de soluciones de punto fijo. Bajo ciertas condiciones, cualquier punto que comience, convergerá a (el) punto fijo. A veces solo de un lado, pero no de ambos. Ahora, tenemos que esperar a que un profesor de matemáticas nos dé los detalles.
Por ahora, déjenme intentarlo, todos estos conducen a soluciones de punto fijo en ambos lados como en su caso:
[matemáticas] x = \ frac1 {x} + 2 \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac1 {x} + x ^ {1/4} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac1 {x} + x ^ {3/4} [/ matemáticas]
¡Los puntos fijos son increíbles!
publicación original:
¡¡Interesante pregunta!!
A primera vista, parece que este podría ser un método de aproximación de Newton. Suponiendo que ya tiene cálculo, el método de Newton dice que si tiene la función f (x), calcule f ‘(x). Ahora, si desea encontrar una raíz de f (x) = 0, comience en algún lugar cerca de la raíz, diga [math] x = x_0 [/ math] y realice esta iteración:
[matemáticas] x_ {i + 1} = x_i – x_i \ frac {f (x_i)} {f ‘(x_i)} [/ matemáticas]
entonces te acercarás a la raíz real de la serie.
Traté de hacer un cálculo hacia atrás en el reverso del sobre, me metí en una ecuación integral complicada. Intentará nuevamente más tarde.
Gracias por la divertida pregunta.