Cómo resolver [matemáticas] x ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Bueno, dependiendo de quién haga esta pregunta, la respuesta puede variar.

Para un estudiante de la escuela, la respuesta es la raíz cúbica de 2, que es alrededor de 1.25992104989.

Si la pregunta es cómo calcularlo, hay muchas formas.

Una forma es usar una forma similar a encontrar la raíz cuadrada. Para la raíz cuadrada, usamos la fórmula [matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + (2a + b) b [/ matemáticas] repetidamente para encontrar el valor con la precisión que queramos. Para encontrar la raíz cúbica, utilizamos [math] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + (3a ^ 2 + 3ab + b ^ 2) b [/ math]. Este método se puede encontrar en Math Forum – Pregúntele al Dr. Math. Pero esta es una forma laboriosa.

Una forma más sencilla de utilizar la identidad [matemáticas] 2 ^ {\ frac {1} {3}} = a ^ {\ frac {1} {3} log_a 2} [/ matemáticas]. Encuentre el logaritmo de 2, divídalo entre 3 y eleve la base del logaritmo al resultado. Usando las tablas de logaritmos naturales y [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], esto se puede hacer.

El valor se puede aproximar expandiéndolo como una serie infinita. Además, hay muchos métodos iterativos disponibles.

Si desea todos los valores de [math] x [/ math], hay tres de ellos. Si [math] s [/ math] es la raíz cúbica real de [math] 2 [/ math], son [math] – \ frac {s} {2} \ pm i \ frac {s \ sqrt {3} } {2} = -0.62996 \ pm 1.09112i [/ math], donde [math] i = \ sqrt {-1} [/ math].

Para llegar a estas soluciones, exprese [math] 2 [/ math] como

[matemática] 2 (\ cos 0 + i \ sin 0) [/ matemática], [matemática] 2 (\ cos 2 \ pi + i \ sen 2 \ pi) [/ matemática] y [matemática] 2 (\ cos ( -2 \ pi) + i \ sin (-2 \ pi)) [/ math], y tres raíces cúbicas están dadas por

[matemáticas] 2 ^ \ frac {1} {3} (\ cos \ frac {0} {3} + i \ sin \ frac {0} {3}) = s [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ \ frac {1} {3} (\ cos \ frac {2 \ pi} {3} + i \ sin \ frac {2 \ pi} {3}) = \ frac {s} {2} (-1 + i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ \ frac {1} {3} (\ cos \ frac {-2 \ pi} {3} + i \ sin \ frac {-2 \ pi} {3}) = \ frac {s} { 2} (- 1 – i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Answer 2

Tenemos:

[matemáticas] x ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

Si reescribimos [math] 2 [/ math] como [math] 2e ^ {2ki \ pi} [/ math] con [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Pero si potenciamos a ambos lados por [matemáticas] 1/3 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] x = \ left (2e ^ {2ki \ pi} \ right) ^ {1/3} [/ math]

O

[matemáticas] x = \ sqrt [3] {2} e ^ {2 / 3ki \ pi} [/ matemáticas]

Entonces podemos visualizar eso al

Para [matemáticas] k = 0 [3] [/ matemáticas], [matemáticas] x = \ sqrt [3] {2} [/ matemáticas]

Para [matemáticas] k = 1 [3] [/ matemáticas], [matemáticas] x = \ sqrt [3] {2} e ^ {2 / 3i \ pi} [/ matemáticas]

Para [matemáticas] k = 2 [3] [/ matemáticas], [matemáticas] x = \ sqrt [3] {2} e ^ {4 / 3i \ pi} [/ matemáticas]

Entonces, al usar la identidad de Euler tenemos:

[matemáticas] S = \ left \ {\ sqrt [3] {2}, \ sqrt [3] {2} (- 1/2 + i \ sqrt {3} / 2), \ sqrt [3] 2 (- 1/2 – i \ sqrt {3} / 2) \ right \} [/ math]

Answer 3

Deje que [math] x = re ^ {i \ phi} [/ math] para [math] r, \ phi \ in \ mathbb R [/ math] y [math] r \ ge 0 [/ math].

Del mismo modo, [math] 2 = 2e ^ {2n \ pi i} [/ math] para [math] n \ in \ mathbb Z [/ math].

Entonces [matemáticas] x ^ 3 = r ^ 3e ^ {3i \ phi} = 2e ^ {2n \ pi i} [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] r ^ 3 = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 \ phi = 2n \ pi [/ matemáticas].

Entonces [math] r = \ sqrt [3] 2 [/ math] y [math] \ phi = \ frac {2n} 3 \ pi [/ math].

Para [matemática] n = 0 [/ matemática] (o cualquier múltiplo entero de 3), esto da [matemática] x = \ sqrt [3] 2 e ^ 0 = \ sqrt [3] 2 [/ matemática] – el único solución real

Para [math] n = 1 [/ math] (o cualquier número entero que sea uno más que un múltiplo de tres) esto da [math] x = \ sqrt [3] 2 \ left (\ cos \ frac {2 \ pi} 3 + i \ sin \ frac {2 \ pi} 3 \ right) [/ math].
Entonces: [matemáticas] x = \ sqrt [3] 2 \ left (- \ frac 1 2 + i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right) = – \ frac 1 {\ sqrt [3] 4} + i \ sqrt [6] {\ frac {27} {16}} [/ math].

Para [math] n = 2 [/ math] (o cualquier número entero que sea uno menos que un múltiplo de tres) esto da [math] x = \ sqrt [3] 2 \ left (\ cos \ frac {4 \ pi} 3 + i \ sin \ frac {4 \ pi} 3 \ right) [/ math].
Entonces: [matemáticas] x = \ sqrt [3] 2 \ left (- \ frac 1 2 – i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right) = – \ frac 1 {\ sqrt [3] 4} – i \ sqrt [6] {\ frac {27} {16}} [/ math].

Estas tres soluciones (de las cuales dos son números complejos) son todas las únicas soluciones para la ecuación.

Answer 4

si haces que cada lado tenga el poder de 1/3, se preservará la igualdad. Entonces:

(x ^ 3) ^ 1/3 = 2 ^ 1/3
x ^ (3 * 1/3) = 2 ^ 1/3
x = 2 ^ 1/3

o x = raíz cúbica de 2

editar: de hecho, como lo recordaron otros colegas, esta es solo la solución REAL para x, y otros han señalado cómo encontrar las dos soluciones complejas además de esta.

Answer 5

Haz la operación matemática opuesta en el otro lado de la expresión.

Lo opuesto a x ^ 3 = x ^ (1/3)

Centrémonos solo en los exponenciales por un momento, ya que debes deshacerte de ese ^ 3 para resolver x. Y para eso, todo lo que necesitas es dividir el 3 por 1/3. Pero como esta es una ecuación, debe hacerlo en ambos lados.

Entonces…
x ^ 3 = 2
x ^ (3/3) = 2 ^ (1/3) (Recuerde que el exponente de cualquier número es ^ 1)

x = 2 ^ (1/3)

Answer 6

Leí todas las otras respuestas solo para asegurarme de que la mía es diferente.

Podrías usar Newton Raphson. Repita la iteración:

[matemáticas]
x _N = \ frac {2 x ^ 3_ {N-1} +2} {3 x ^ 2_ {N-1}}
[/matemáticas]

Solo toma unas pocas iteraciones encontrar la respuesta:

>>> x = 1.0
>>> para i en rango (10):
… Imprima ‘x_% i =% 1.8f’% (i, x)
… X = 2 * (x * x * x + 1) / 3 / x / x
…
x_0 = 1.00000000
x_1 = 1.33333333
x_2 = 1.26388889
x_3 = 1.25993349
x_4 = 1.25992105
x_5 = 1.25992105
x_6 = 1.25992105

Otra alternativa que no converge tan rápido es una búsqueda binaria. Digamos que la raíz cúbica está entre 1 y 2. Pruebe 1.5. 1.5 en cubos es demasiado grande. Intenta 1.25 en cubos. Eso es casi correcto pero demasiado pequeño, así que intente con el número medio entre 1.25 y 1.5. Repita la búsqueda hasta que esté lo suficientemente cerca.

>>> al cubo = lambda x: x * x * x
>>> en cubos (2)
8
>>> matemáticas de importación
>>> izquierda, derecha = 1.0, 2.0
>>> while math.fabs (derecha-izquierda)> 1e-8:
… Medio = (izquierda + derecha) /2.0
… Si está en cubos (medio)> 2:
… derecha = media
… más:
… izquierda = medio
…
>>> mediados
1.2599210515618324
>>> en cubos (mediados)
2.0000000079383984
>>>

Answer 7

Hay una gran cantidad de formas muy complicadas para llegar a la respuesta correcta. Por mi dinero, quiero una respuesta rápida. Si el navegador de un barco está reduciendo la vista de una estrella para que pueda decirme dónde estoy, así sé lo que tengo que evitar AHORA , rápido es bueno, así que iría con Frederico, Sanna o Sarah. Paulo fue muy rápido, pero no mostró su trabajo. La primera respuesta de Umesh puede haber funcionado, pero no fue lo suficientemente precisa :-).

Answer 8

Tenemos: [matemáticas] x ^ {3} = 2 [/ matemáticas]

Para resolver esta ecuación para [matemáticas] x [/ matemáticas], debemos aislar las [matemáticas] x [/ matemáticas]. Para hacer esto, debemos sacar la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación:

[math] \ Rightarrow x = \ sqrt [3] {2} [/ math]

Esta es la solución real a esta ecuación cúbica. Hay dos soluciones más complejas que no he encontrado.

Answer 9

asumir que se requieren raíces reales,

3㏒x = ㏒2

㏒x = ㏒2 / 3 = 0.10034

x = 10 ^ 0.10034 = 1.26

Answer 10

Voltear poderes = respuestas.

x ^ 3 = 2, por lo tanto x ^ (3/1) = 2.

Esto significa que 2 ^ (1/3) = x

Agradable y simple

Respuesta más formulada.

x ^ (a / b) = c ^ (b / c)

Answer 11

x ^ 3 = 2

Toma la raíz cúbica de ambos lados (o eleva ambos lados a 1/3).

x = 2 ^ (1/3)