Hay una deliciosa fórmula “similar a un cordón” para encontrar el centro de un círculo, dados tres puntos. Suponga que los tres puntos están dados por esta tabla:
[matemáticas] \ begin {array} {c | c} x e y \\ \ hline 3 y 4 \\ \ hline 3 y -6 \\ \ hline -1 y 2 \ end {array} \ tag * {} [ /matemáticas]
Ahora, agregue una tercera columna, que es la distancia al cuadrado desde el origen de cada punto:
[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c} x & y & \ text {sum sq} \\ \ hline 3 & 4 & 25 ~ = ~ 3 ^ 2 + 4 ^ 2 \\ \ hline 3 & -6 y 45 ~ = ~ 3 ^ 2 + (- 6) ^ 2 \\ \ hline -1 y 2 y 5 ~ = ~ (-1) ^ 2 + 2 ^ 2 \ end {array} \ tag * {} [/matemáticas]
A continuación, voy a pedirle que “calce” las columnas [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] de esta tabla. Para entender lo que quiero decir, eche un vistazo a este artículo: Fórmula de cordones de los zapatos – Wikipedia. Por conveniencia, usaré el punto “[math] \ cdot [/ math]” como mi operador de “cordón de zapato”. Aquí está la tabla completada para [math] x \ cdot y [/ math]:
[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline 3 & 4 & 25 & -30 = \ small {(3 * -6) – (4 * 3)} & ~ & ~ \\ \ hline 3 & -6 & 45 & 0 = \ small {(3 * 2) – (- 6 * -1)} & ~ & ~ \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 = \ small {(- 1 * 4) – (2 * 3)} & ~ & ~ \ end {array} \ tag * {} [/ math]
¿Ves cómo el último par de cordones de los zapatos “envuelve” en la parte superior? [math] -10 = \ small {(- 1 * 4) – (2 * 3)} [/ math] proviene de la primera y la última fila.
Y ahora, para completar la columna de [math] y \ cdot \ text {sum sq} [/ math]:
[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline 3 & 4 & 25 & -30 & 330 = \ small {(4 * 45) – (25 * -6)} & ~ \\ \ hline 3 & -6 & 45 & 0 & -120 = \ small {(- 6 * 5) – (45 * 2)} & ~ \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 & 30 = \ small {(2 * 25) – (5 * 4)} & ~ \ end {array} \ tag * {} [/ math]
Finalmente, para completar la última columna, [math] \ text {sum sq} \ cdot x [/ math], observe cómo se ajustan las columnas, al igual que las filas. Puedes pensar en esta matriz de tres por tres que estamos entrelazando como si fuera una dona. Es decir, estamos usando la topología de toro, de modo que todo se envuelve desde la parte inferior hacia la parte superior y del lado derecho hacia la izquierda.
[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline 3 & 4 & 25 & -30 & 330 & -60 = \ small {(25 * 3) – (3 * 45)} \\ \ hline 3 & -6 & 45 & 0 & -120 & -60 = \ small {(45 * -1) – (3 * 5)} \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 & 30 & 40 = \ small {(5 * 3) – (- 1 * 25)} \ end {array} \ tag * {} [/ math]
Ahora, sume los totales para todas las columnas de “cordón”:
[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline 3 & 4 & 25 & -30 & 330 & -60 \\ \ hline 3 & -6 & 45 & 0 & -120 & -60 \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 & 30 & 40 \\ \ hline \ hline ~ & ~ & ~ & -40 & 240 & -80 \ end {array} \ tag * {} [/ math]
Ahora, el centro del círculo tiene las siguientes coordenadas:
[matemáticas] \ left (\ dfrac {- \ frac {1} {2} ~ y \ cdot \ text {sum sq}} {x \ cdot y} ~, ~ \ dfrac {- \ frac {1} {2} ~ \ text {sum sq} \ cdot x} {x \ cdot y} \ right) \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] ~ = ~ \ left (\ dfrac {- \ frac {1} {2} (240)} {- 40} ~, ~ \ dfrac {- \ frac {1} {2} (- 80)} { -40} \ right) \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] ~ = ~ \ left (3 ~, ~ -1 \ right) \ tag * {} [/ math]
Ahora solo necesitamos encontrar el cuadrado del radio, que es la distancia desde el centro a uno de los tres puntos.
[matemática] r ^ 2 ~ = ~ \ izquierda (3-3 \ derecha) ^ 2 ~ + ~ \ izquierda (4 + 1 \ derecha) ^ 2 ~ = ~ 25 \ etiqueta * {} [/ matemática]
Y la ecuación del círculo es:
[matemática] \ left (x-3 \ right) ^ 2 + \ left (y + 1 \ right) ^ 2 ~ = ~ 25 \ tag * {} [/ math]
