¿Hay alguna prueba matemática de la ecuación de gas ideal?

Answer 1

Según la teoría cinética del gas,
– Los gases están compuestos de moléculas muy pequeñas y su número de moléculas es muy grande.
– Estas moléculas son elásticas.
– Son de tamaño insignificante en comparación con su contenedor.
– Sus movimientos térmicos son aleatorios.

Para comenzar, visualicemos un cuadro rectangular con longitud L, áreas de los extremos A1 y A2. Hay una sola molécula con velocidad vx que viaja de izquierda a derecha hasta el final de la caja al chocar con las paredes de los extremos.

Demostración tridimensional del gas ideal

El tiempo entre colisiones con la pared es la distancia de viaje entre colisiones de pared dividida por la velocidad.
1)

La frecuencia de colisiones con la pared en colisiones por segundo es
2)

Según Newton, la fuerza es la tasa de cambio temporal del momento

3)

El cambio de impulso es igual al impulso después de la colisión menos el impulso antes de la colisión. Como consideramos que el momento después de la colisión es mv , el momento antes de la colisión debe ser en dirección opuesta y, por lo tanto, igual a – mv .

4)
De acuerdo con la ecuación # 3, la fuerza es el cambio en el momento
dividido por cambio en el tiempo
. Para obtener una ecuación de fuerza promedio
en términos de velocidad de partícula
, tomamos cambio en momentmtum
multiplicar por la frecuencia
de la ecuación # 2.
5)

La presión, P, ejercida por una sola molécula es la fuerza promedio por unidad de área, A. También V = AL, que es el volumen de la caja rectangular.
6)

Digamos que tenemos N moléculas de gas viajando en el eje x. La presión será
7)

Para simplificar la situación, tomaremos la velocidad cuadrada media de N número de moléculas en lugar de sumar moléculas individuales. Por lo tanto, la ecuación # 7 se convertirá
8)

Anteriormente estamos tratando de simplificar la situación considerando solo que una molécula con masa m está viajando en el eje x. Sin embargo, el mundo real es mucho más complicado que eso. Para hacer una derivación más precisa, necesitamos tener en cuenta los 3 componentes posibles de la velocidad de la partícula, vx, vy y vz.
9)

Dado que hay una gran cantidad de moléculas, podemos suponer que hay un número igual de moléculas que se mueven en cada una de las direcciones coordinadas.
10)

Debido a que las moléculas también se mueven libremente en tres dimensiones, golpearán las paredes en una de las tres dimensiones un tercio con la misma frecuencia. Nuestra ecuación de presión final se convierte en
11)

Sin embargo, para simplificar aún más la ecuación, definimos la temperatura, T, como una medida del movimiento térmico de las partículas de gas porque la temperatura es mucho más fácil de medir que la velocidad de la partícula. La única energía involucrada en este modelo es la energía cinética y esta energía cinética es proporcional a la temperatura T.
12)

Para combinar la ecuación # 11 y # 12 resolvemos la ecuación de energía cinética # 12 para mv2.
13)

Dado que la temperatura se puede obtener fácilmente con una simple medición diaria como un termómetro, ahora reemplazaremos el resultado de la ecuación cinética # 13 con una constante R multiplicada por la temperatura, T. De nuevo, dado que T es proporcional a la energía cinética, es lógico decir que T multiplicado por k es igual a la energía cinética E. k, sin embargo, actualmente se desconoce.
14)

Combinando la ecuación # 14 con la # 11, obtenemos:
15.

Debido a que una molécula es demasiado pequeña y, por lo tanto, poco práctica, tomaremos el número de moléculas, N y lo dividiremos por el número de Avogadro, NA = 6.0221 x 1023 / mol para obtener n (el número de moles)
dieciséis.

Como N está dividido por Na, k debe multiplicarse por Na para preservar la ecuación original. Por lo tanto, se crea la constante R.
17)

Ahora podemos lograr la ecuación final reemplazando N (número de moléculas) con n (número de moles) yk con R.
17)