Al resolver ecuaciones polinómicas, ¿cómo hago conjeturas educadas cuando intento obtener sus ceros reales?

Answer 1

La mejor manera de hacerlo es buscar diferentes valores que le den un cambio de signo. Por ejemplo, podemos ver de inmediato que x = 0 da y = 26 yx = -10 da algo así como y = -584. Entonces la raíz debe estar en algún lugar en el medio.

Para polinomios de alto grado, generalmente no podrá encontrar una solución exacta (e incluso para cúbicos, el método general que conduce a soluciones exactas es demasiado feo para emplear), por lo que a menos que la raíz sea racional, necesitará recurrir a una solución numérica como el método de Newton. Ser capaz de hacer el análisis que ya hizo (es decir, que hay una raíz real) combinado con conocer un intervalo relativamente pequeño como (-10,0) donde la raíz vive le da suficiente para hacer que el solucionador numérico funcione de maravilla.

Si la raíz es racional, entonces, como la respuesta de Justin Rising a Al resolver ecuaciones polinómicas, ¿cómo hago conjeturas educadas cuando trato de obtener sus ceros reales? explica, podemos usar el teorema de la raíz racional para limitar la lista a unas pocas opciones. En el caso de su ejemplo, las únicas raíces racionales posibles en el intervalo (-10,0) que debemos verificar son -1 y -2. Resulta que -2 funciona.

Pero las raíces no suelen ser racionales, así que no te preocupes demasiado por buscarlas. Es más valioso (fuera de la escuela) saber cómo obtener buenas aproximaciones numéricas. Si buscas la solución numérica y resulta ser racional, ¡genial!

Answer 2

Primero intente trazar el gráfico de la función dada … Vea los intervalos cercanos al punto de intersección del gráfico con el eje x … Le proporcionará una buena suposición … Aplique cualquiera de los métodos numéricos para obtener la solución …

Answer 3

El teorema de la raíz racional le proporciona una lista de las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Más allá de eso, si sabes que solo hay una raíz real y es negativa, entonces sabes que para cualquier número menor que esa raíz, el polinomio debe ser negativo. Así que puedes probar los enteros sistemáticamente y ver qué te compra.