La forma estándar de una elipse con semiejes [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] con centro [matemática] (0,0) [/ matemática] es [matemática] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas].
Por supuesto, si sucede que [matemática] a = b = r [/ matemática] esto corresponde a un círculo con radio [matemática] r [/ matemática].
Un círculo con radio [matemática] r [/ matemática] es básicamente el círculo unitario [matemática] x ^ 2 = y ^ 2 = 1 [/ matemática] escalado por [matemática] r [/ matemática]. Como señala Dmitriy Genzel, la ecuación para un círculo con centro en el origen está estrechamente relacionada con la fórmula de Pitágoras para la distancia desde el origen (de hecho, es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación, es decir, ser exactamente esa distancia desde allí )
Una elipse puede considerarse como el círculo unitario escalado de manera diferente en las direcciones [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas].
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Verá que esto tiene mucho más sentido si deja que [matemática] X = \ frac {x} {a} [/ matemática] y [matemática] Y = \ frac {y} {b} [/ matemática] y escriba la ecuación para un círculo en [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas]. Claramente, eso se convierte en la ecuación original para una elipse cuando sustituyes en esa ecuación de nuevo a [matemáticas] x, y [/ matemáticas]. Lo que hace esta transformación de coordenadas es que hace que por cada [matemática] a [/ matemática] vaya a la derecha en [matemática] x [/ matemática] vaya exactamente [matemática] 1 [/ matemática] a la derecha en [matemática] X [/ matemática] (y viceversa), y de manera similar para [matemática] y, Y [/ matemática] con [matemática] b [/ matemática].
En resumen, [matemática] a, b [/ matemática] son factores de escala para la distancia desde el centro que existen los puntos en la elipse, y es por eso que no se multiplican por [matemática] 2 [/ matemática] sino que están al cuadrado con las variables [math] x, y [/ math].