Primero reorganice y cuadre para deshacerse de un signo de raíz cuadrada:
[matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] 20 – x = \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] (20 – x) ^ 2 = 20 – \ sqrt {x} [/ matemáticas]
Ahora reorganice y cuadre para deshacerse de la otra raíz cuadrada:
[matemáticas] (20 – x) ^ 2 = 20 – \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] 20 – (20 – x) ^ 2 = \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] (20 – (20 – x) ^ 2) ^ 2 = x [/ matemáticas]
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En expansión:
[matemáticas] x ^ 4 -80x ^ 3 + 2360x ^ 2 -30401x + 144400 = 0 [/ matemáticas]
Ahora tenemos un polinomio de grado 4, y cada solución a la ecuación original debe ser una solución de esto también. ¿Cómo encontramos raíces de este polinomio? Bueno, es un poco complicado.
Una manera fácil es conectarlo a Wolfram Alpha: x ^ 4 -80x ^ 3 + 2360x ^ 2 -30401x + 144400 = 0. Alternativamente, puede adivinar que 16 y 25 son ambas raíces. Intenté algunas potencias de 2 ya que los coeficientes son divisibles por muchas potencias de 2, y encontré 16. Puede encontrar 25 de manera similar. Después de eso, puedes dividir el polinomio entre [matemáticas] (x-16) (x-25) [/ matemáticas] y te queda un polinomio cuadrático que puedes resolver con la fórmula cuadrática. Las cuatro raíces son:
16, 25, [matemática] \ frac12 (39 – \ sqrt {77}) \ aprox 15.1, \ frac12 (39 + \ sqrt {77}) \ aprox 23.9 [/ matemática]
Entonces, sabemos que estas son las únicas cuatro soluciones posibles. ¡Ahora los conectamos! Puedes ver que solo 16 realmente satisfacen la ecuación original. Por lo tanto, la única solución es x = 16.
Por supuesto, también puede conectar la cosa original a Wolfram Alpha: x = 20 – sqrt (20 – sqrt (x)) – Wolfram | Alpha