Cómo resolver [matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt x} [/ matemáticas]

Primero reorganice y cuadre para deshacerse de un signo de raíz cuadrada:

[matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] 20 – x = \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ matemáticas]
[matemáticas] (20 – x) ^ 2 = 20 – \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Ahora reorganice y cuadre para deshacerse de la otra raíz cuadrada:

[matemáticas] (20 – x) ^ 2 = 20 – \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] 20 – (20 – x) ^ 2 = \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] (20 – (20 – x) ^ 2) ^ 2 = x [/ matemáticas]

En expansión:

[matemáticas] x ^ 4 -80x ^ 3 + 2360x ^ 2 -30401x + 144400 = 0 [/ matemáticas]

Ahora tenemos un polinomio de grado 4, y cada solución a la ecuación original debe ser una solución de esto también. ¿Cómo encontramos raíces de este polinomio? Bueno, es un poco complicado.

Una manera fácil es conectarlo a Wolfram Alpha: x ^ 4 -80x ^ 3 + 2360x ^ 2 -30401x + 144400 = 0. Alternativamente, puede adivinar que 16 y 25 son ambas raíces. Intenté algunas potencias de 2 ya que los coeficientes son divisibles por muchas potencias de 2, y encontré 16. Puede encontrar 25 de manera similar. Después de eso, puedes dividir el polinomio entre [matemáticas] (x-16) (x-25) [/ matemáticas] y te queda un polinomio cuadrático que puedes resolver con la fórmula cuadrática. Las cuatro raíces son:

16, 25, [matemática] \ frac12 (39 – \ sqrt {77}) \ aprox 15.1, \ frac12 (39 + \ sqrt {77}) \ aprox 23.9 [/ matemática]

Entonces, sabemos que estas son las únicas cuatro soluciones posibles. ¡Ahora los conectamos! Puedes ver que solo 16 realmente satisfacen la ecuación original. Por lo tanto, la única solución es x = 16.

Por supuesto, también puede conectar la cosa original a Wolfram Alpha: x = 20 – sqrt (20 – sqrt (x)) – Wolfram | Alpha

[matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20- \ sqrt {x}} [/ matemáticas]… (i)
Digamos:
[matemáticas] t = 20 – \ sqrt {20- \ sqrt {x}} [/ matemáticas]… (ii)
Lo que también significa [matemáticas] t = x [/ matemáticas]
Ahora, si sustituimos [math] x [/ math] de (i) en (ii), esto dará:
[matemáticas] t = 20 – \ sqrt {20- \ sqrt {20 – \ sqrt {20- \ sqrt {x}}}} [/ matemáticas]
Si seguimos repitiendo esta sustitución, obtendremos:
[matemáticas] t = 20 – \ sqrt {20- \ sqrt {20 – \ sqrt {20- …… \ infty times}}} [/ matemáticas]
O [matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20- \ sqrt {20 – \ sqrt {20- …… \ infty times}}} [/ matemáticas]… (iii)
O [math] (20-x) = \ sqrt {20- \ sqrt {20 – \ sqrt {20- …… \ infty times}}} [/ math]
Cuadrar ambos lados da:
[matemáticas] (20-x) ^ {2} = 20- \ sqrt {20 – \ sqrt {20- …… \ infty veces}} [/ matemáticas]
Ahora, el RHS de esta ecuación es el RHS en la ecuación (iii).
Por lo tanto,
[matemáticas] (20-x) ^ {2} = x [/ matemáticas]
Que es una ecuación cuadrática, para dar:
[matemáticas] x ^ {2} -40x + 400 = x [/ matemáticas].
No es demasiado difícil después de esto.
[matemáticas] x ^ {2} – 41x + 400 = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow x = 25, 16 [/ matemática]

EDITAR: Entiendo que esta es una ecuación de cuarto orden, y tiene que tener cuatro raíces. No puedo entender por qué me faltan dos raíces, pero esta es la forma más sencilla de resolver.

[matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff 20 – x – \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} = 0 [/ matemáticas] (*)

Condición: [matemática] x \ geq 0 \ tierra 20 – \ sqrt {x} \ geq 0 [/ matemática] [matemática] \ iff 0 \ leq x \ leq 400 [/ matemática]

Deje que [math] t = \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ math] tenemos

[matemáticas] t ^ 2 = 20 – \ sqrt {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] t ^ 4 = 400 – 40 \ sqrt {x} + x [/ matemáticas]

Condición: [matemáticas] 0 \ leq t \ leq \ sqrt {20} [/ matemáticas]

Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación original obtendremos otra ecuación que es mucho más simple de resolver
(*) [matemáticas] \ iff 20 – (t ^ 4 + 40 \ sqrt {x} – 400) – t = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ iff 20 – t ^ 4 – 40 (20 – t ^ 2) + 400 – t = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ iff t ^ 4 – 40 t ^ 2 + t + 380 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (t – 4) (t ^ 3 + 4 t ^ 2 – 24t – 95) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (t – 4) (t + 5) (t ^ 2 – t – 19) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff t = 4 \ lor t = -5 \ lor t = \ frac {1 \ pm \ sqrt {77}} {2} [/ math]

Solo [math] t = 4 [/ math] satisface la condición de t, resuelve [math] 20 – \ sqrt {x} = 4 ^ 2 [/ math] y obtenemos la única solución, que es x = 16

Todos los demás tienen toda la razón sobre la forma correcta de resolver esa ecuación. Sin embargo, creo que es una apuesta segura cuando ves una ecuación como esta en la que lidiarás con números “agradables”. Así es como lo resolví:

Estamos tomando una raíz cuadrada de x … supongamos que vamos a seguir siendo reales y no complejos. En ese caso, sabemos que x es positivo. También sabemos que [math] 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt {x}} [/ math] también es positivo de nuestra conclusión previa sobre x , lo que significa que [math] \ sqrt {20 – \ sqrt {x} } [/ math] debe ser menor que 20 yx debe estar entre 0 y 20.

También vamos a adivinar que estamos trabajando con números enteros, porque los números enteros son mucho más fáciles de trabajar y si estamos destinados a hacerlo a mano, las expectativas no pueden ser demasiado altas. Si suponemos que estamos trabajando con enteros, entonces sabemos que x y [math] 20 – \ sqrt {x} [/ math] son ​​ambos cuadrados. Solo tenemos cuatro cuadrados dentro del rango: 1, 4, 9 y 16, que son los cuadrados de 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

Entonces los probamos: 20 – 1 = 19, 20 – 2 = 18, 20 – 3 = 17, 20 – 4 = 16. Solo el último nos deja con un bonito cuadrado perfecto. Entonces, suponemos que x = 16 podría ser una buena respuesta, porque [math] 20 – \ sqrt {16} [/ math] es algo de lo que podemos sacar una raíz cuadrada fácilmente.

Podemos verificar si funciona: [matemáticas] 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt {16}} = 20 – \ sqrt {20 – 4} = 20 – \ sqrt {16} = 20 – 4 = 16 [/ matemáticas]. Perfecto.

Esto toma mucho más tiempo en escribirse que en su mente … las comprobaciones de matemática mental como esta pueden ahorrar mucho tiempo cuando se trata con este tipo de problemas previsiblemente no demasiado desagradables.

Después de algunos ajustes algebraicos bastante triviales, descubrí que esto es equivalente a resolver la ecuación
[matemáticas] 144400-30401x + 2360x ^ {2} -80x ^ {3} + x ^ {4} = 0 [/ matemáticas].
Este es un polinomio de cuarto orden que en realidad puede resolverse exactamente (función Quartic). Sin embargo, es un gran problema, así que busqué una implementación en línea de la solución. (CALCULADORA DE ECUACIÓN QUARTICA) Después de conectar los números obtuve 25, 23.887, 15.112 y 16.

El método de Josh es muy sencillo. Mi alternativa es la siguiente:
vamos a [math] x = 400 \ sin ^ 4 (\ alpha) [/ math] usando la identidad que [math] \ sin ^ 2 (\ alpha) + \ cos ^ 2 (\ alpha) = 1 [/ math] we obtener:
[math] 400 \ sin ^ 4 (\ alpha) = 20-2 \ sqrt {5} \ cos (\ alpha) [/ math] y cambiando todo a [math] \ cos (\ alpha) [/ math] resultante:
[matemáticas] 400 [1- \ cos ^ 2 (\ alpha)] ^ 2 = 20-2 \ sqrt {5} \ cos (\ alpha) [/ matemáticas] que es esencialmente un polinomio de cuarto orden. Y la solución existe en teoría …