Veamos: esta solución restringe el espacio de búsqueda a números reales.
Inspección
Primero, por inspección sabemos que hay dos soluciones:
Solución 1: x = 0, y = 1
Solución 2: x = 1, y = 0
(Observe la simetría diagonal, es decir, si (x = a, y = b) es una solución, entonces (x = b, y = a) también es una solución)
- Cómo resolver [matemáticas] x = 20 – \ sqrt {20 – \ sqrt x} [/ matemáticas]
- Cómo resolver la ecuación [matemáticas] \ cos (3x) + \ cos (x) = 0 [/ matemáticas]
- ¿Cómo resolverías la ecuación de Diophantine [matemáticas] x ^ 3 = 4 y ^ 2 + 4 y – 3 [/ matemáticas]?
- ¿Por qué A y B están al cuadrado en la ecuación de una elipse? ¿No deberían multiplicarse por 2 ya que son los ejes semi-mayor y menor?
- Cómo obtener una solución convergente de forma iterativa para un sistema lineal de ecuaciones
De ahora en adelante, solo estamos buscando otras soluciones.
Alguna notación
Denotamos
[matemáticas] x ^ 3 + y_1 ^ 3 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 4 + y_2 ^ 4 = 1 [/ matemáticas]
Una solución implica [matemáticas] y_1 = y_2 [/ matemáticas]
Signo de solución
Si (x, y) fuera una solución, entonces ambos deben ser positivos.
¿Por qué? Debido a [matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 = 1 [/ matemáticas]:
El espacio real nos restringe a:
[matemáticas] -1 \ le x \ le 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] -1 \ le y \ le 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, incluso si uno de x o y es negativo, entonces, el cubo correspondiente es negativo y no es posible satisfacer:
[matemáticas] x ^ 3 + y_1 ^ 3 = 1 [/ matemáticas]
¡Por lo tanto, tanto x como y deberían ser positivos!
Solución real
(Considerando que ya hemos identificado x = 0 yx = 1 como soluciones, dejémoslas fuera del espacio de búsqueda)
Sabemos
[matemáticas] 0 <x <1 [/ matemáticas]
Desde arriba, lo siguiente es sencillo:
[matemáticas] x ^ 3> x ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 – x ^ 3 <1 – x ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 – x ^ 3) ^ {(1/3)} <(1 – x ^ 4) ^ {(1/3)} [/ matemáticas] (1)
También,
[matemáticas] (1 – x ^ 4) ^ {(1/3)} <(1 – x ^ 4) ^ {(1/4)} [/ matemáticas] (2)
(Para números más pequeños que uno, cuberoot es más pequeño que la cuarta raíz, ya que multiplicar dos de esos números hace que el resultado sea aún más pequeño)
Combinando (1) y (2)
[matemáticas] (1 – x ^ 3) ^ {(1/3)} <(1 – x ^ 4) ^ {(1/4)} [/ matemáticas]
En otras palabras
[matemáticas] y_1 <y_2 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que la desigualdad anterior es estrictamente válida y, por lo tanto, para ningún otro valor de x, [matemáticas] y_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y_2 [/ matemáticas] podría ser igual.
¡Por lo tanto, las únicas soluciones son las que identificamos a través de la observación!
Como una imagen vale más que mil palabras, aquí voy. Claro, esta imagen puede reemplazar todo el texto de arriba 🙂
