¿Cómo resolverías la ecuación de Diophantine [matemáticas] x ^ 3 = 4 y ^ 2 + 4 y – 3 [/ matemáticas]?

El lado derecho es [matemática] (2y + 1) ^ 2-4 = (2y + 3) (2y-1) [/ matemática]. Observe que [matemática] 2y + 3 [/ matemática] y [matemática] 2y-1 [/ matemática] son ​​relativamente primos (porque su divisor común es necesariamente un divisor de [matemática] 2y + 3- (2y-1) = 4 [/ math], entonces 1, 2 o 4, pero tanto [math] 2y + 3 [/ math] como [math] 2y-1 [/ math] son ​​impares). Por lo tanto, si esta ecuación tuviera soluciones, tanto [matemática] 2y + 3 [/ matemática] como [matemática] 2y-1 [/ matemática] deben ser cubos. Asumir
[matemáticas] 2y-1 = m ^ 3, 2y + 3 = n ^ 3 [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] n ^ 3-m ^ 3 = 4 [/ matemáticas]. Observe que [matemáticas] 4 = n ^ 3-m ^ 3 \ geq (m + 1) ^ 3-m ^ 3 = 3m ^ 2 + 3m + 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] m ^ 2 + m \ leq 1 [/ math], entonces [math] m = 0, -1 [/ math]. Pero ninguno de ellos produce soluciones para [math] n [/ math]. Por lo tanto, hemos demostrado que no hay soluciones integrales.

Si reescribe la ecuación como [matemática] (2y + 1) ^ 2 = x ^ 3 + 4 [/ matemática], este es un caso especial de la ecuación de Mordel.

Una ecuación diofantina es una ecuación que relaciona cantidades enteras (o, a veces, números naturales o números enteros).

Encontrar la solución o soluciones para una ecuación de diofantina está estrechamente relacionado con la aritmética modular y la teoría de números. A menudo, cuando una ecuación diofantina tiene infinitas soluciones, la forma paramétrica se usa para expresar la relación entre las variables de la ecuación.

Las ecuaciones de Diofantina llevan el nombre del antiguo matemático griego / alejandrino Diofantus.

ecuación de forma

no tiene soluciones enteras, como sigue: Suponemos que la ecuación tiene soluciones enteras, y consideramos la solución que minimiza

. Deja que esta solución sea

. Si

entonces su MCD

debe satsify

. La solución

entonces sería una solución menor que

, lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, esta ecuación no tiene soluciones enteras.

Si

, luego procedemos con el trabajo de casos, en

.

Tenga en cuenta que cada cuadrado, y por lo tanto cada cuarto poder, es

o

. La prueba de esto es bastante simple, y puede mostrarlo usted mismo.

Caso 1:

Esto implicaría

, una contradicción

Caso 2:

Esto implicaría

, una contradicción ya que asumimos

.

Caso 3:

y

También sabemos que los cuadrados son

o

. Por lo tanto, todos los cuartos poderes son

o

.

Por un enfoque similar, mostramos que:

, entonces

.

Esto es una contradicción, ya que

implica

es extraño y

implica

incluso. QED

[matemática] x ^ 3 = 4y ^ 2 + 4y – 3 = 4y ^ 2 + 4y + 1 – 4 = (2y + 1) ^ 2 – 4 [/ matemática]

[matemáticas] => x ^ 3 + 4 = (2y + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

RHS es un cuadrado perfecto. [matemáticas] => (x ^ 3 + 4) [/ matemáticas] debe ser un cuadrado.

Suponiendo valores reales para x e y:

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] haría que [matemáticas] (x ^ 3 + 4) = 4 = 2 ^ 2 [/ matemáticas] un cuadrado perfecto

[matemáticas] => (2y + 1) ^ 2 = 4 => 2y + 1 = \ pm 2 [/ matemáticas]

[math] => y = \ dfrac {-1 \ pm 2} {2} = \ dfrac {-3} {2} o \ dfrac {1} {2}, [/ math] que no es un entero

Otra posible solución es cuando [matemáticas] x ^ 3 + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] => x ^ 3 = -4 => x = \ sqrt [3] {- 4} = -1.5874 [/ matemáticas]

[matemáticas] => (2y + 1) ^ 2 = 0 => 2y + 1 = 0 => y = \ dfrac {-1} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, las posibles soluciones son

  • [matemáticas] x = 0, y = \ dfrac {-3} {2} [/ matemáticas]
  • [matemáticas] x = 0, y = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]
  • [matemáticas] x = -1.5874, y = \ dfrac {-1} {2} [/ matemáticas]