El lado derecho es [matemática] (2y + 1) ^ 2-4 = (2y + 3) (2y-1) [/ matemática]. Observe que [matemática] 2y + 3 [/ matemática] y [matemática] 2y-1 [/ matemática] son relativamente primos (porque su divisor común es necesariamente un divisor de [matemática] 2y + 3- (2y-1) = 4 [/ math], entonces 1, 2 o 4, pero tanto [math] 2y + 3 [/ math] como [math] 2y-1 [/ math] son impares). Por lo tanto, si esta ecuación tuviera soluciones, tanto [matemática] 2y + 3 [/ matemática] como [matemática] 2y-1 [/ matemática] deben ser cubos. Asumir
[matemáticas] 2y-1 = m ^ 3, 2y + 3 = n ^ 3 [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] n ^ 3-m ^ 3 = 4 [/ matemáticas]. Observe que [matemáticas] 4 = n ^ 3-m ^ 3 \ geq (m + 1) ^ 3-m ^ 3 = 3m ^ 2 + 3m + 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] m ^ 2 + m \ leq 1 [/ math], entonces [math] m = 0, -1 [/ math]. Pero ninguno de ellos produce soluciones para [math] n [/ math]. Por lo tanto, hemos demostrado que no hay soluciones integrales.
Si reescribe la ecuación como [matemática] (2y + 1) ^ 2 = x ^ 3 + 4 [/ matemática], este es un caso especial de la ecuación de Mordel.