¿Hay alguna solución entera a la ecuación [matemáticas] x ^ y = y ^ x, x \ ne y [/ matemáticas]

Answer 1

Recuerdo que este problema se me preguntó en un problema de examen de calificación de maestría cuando era un estudiante graduado de matemáticas. No aparecí para el Qual, pero había una pista muy generosa, sobre investigar la función de valor real [matemática] f (x) = \ ln x / x [/ matemática], y conectarme con el problema de encontrar soluciones para [matemática] x ^ y = y ^ x [/ matemática] en enteros positivos con [matemática] x \ ne y [/ matemática]. Soy nuevo en escribir en Quora (menos de un mes, excepto por un comentario solitario sobre un ex alumno que conocía bien), pero en mi experiencia limitada, pocos problemas han generado más respuestas. Más tarde encontré el mismo problema discutido en uno de los libros de Ross Honsberger (probablemente una de las tres gemas matemáticas), y de inmediato le envié dos soluciones. Una de ellas se basó en la solución usando Cálculo, la otra en teoría de números elemental, lo que me valió una pequeña carta de Honsberger agradeciéndome por mi observación. La comunicación por correo electrónico aún no estaba en boga, y estoy seguro de que esa carta se conserva en el mismo libro.

Supongamos que [math] a, b [/ math] son ​​enteros positivos, [math] a <b [/ math] y [math] a ^ b = b ^ a [/ math]. Probamos que [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 4 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [math] b ^ a = a ^ a \ cdot a ^ {ba} [/ math] implica [math] (\ frac {b} {a}) ^ a = a ^ {ba} \ in \ mathbb N [/matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ frac {b} {a} \ in \ mathbb N, [/ math] es decir, [math] a \ mid b [/ math].

Escriba [math] b = \ lambda a [/ math], donde [math] \ lambda \ in \ mathbb N [/ math], [math] \ lambda> 1 [/ math]. Entonces [math] a ^ b = b ^ a [/ math] puede escribirse como

[matemáticas] a ^ {\ lambda a} = (\ lambda a) ^ a = {\ lambda} ^ a \ cdot a ^ a [/ math],

o como

[matemáticas] a ^ {(\ lambda-1) a} = {\ lambda} ^ a [/ matemáticas].

Esto da

[matemáticas] a = {\ lambda} ^ {1 / {\ lambda-1}} [/ matemáticas].

Es fácil ver que [matemática] 1 <{\ lambda} ^ {1 / {\ lambda-1}} 2, [/ matemática], por ejemplo, usando Binomial Teorema, y ​​que [math] \ lambda = 2 [/ math] da [math] a = 2 [/ math]. Por lo tanto, la única solución es [matemáticas] (a, b) = (2,4) [/ matemáticas]. QED

Answer 2

Los logaritmos ayudarán (como siempre).
Aplicar registro a ambos lados:

[matemáticas] \ log {x ^ y} = \ log {y ^ x} [/ matemáticas]

[matemáticas] y \ log {x} = x \ log {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {y} {x} = \ frac {\ log {y}} {\ log {x}} [/ matemáticas]

Entonces podemos escribir que ambos lados de las ecuaciones equivalen a una constante k.

[matemática] \ frac {y} {x} = k [/ matemática] y [matemática] \ frac {\ log {y}} {\ log {x}} = k [/ matemática]

Entonces: [matemáticas] y = kx [/ matemáticas] y [matemáticas] \ log {y} = k \ log {x} = \ log {x ^ k} [/ matemáticas]

Al elevar ambos lados de la expresión logarítmica como poder de e, obtenemos

[matemáticas] y = x ^ k [/ matemáticas]

Sustituyendo en el último [math] y [/ math] con [math] kx [/ math], finalmente tenemos que resolver la ecuación

[matemáticas] kx = x ^ k [/ matemáticas]

Solo para hacer un ejemplo, si k = 2 obtenemos las soluciones mencionadas en otras respuestas (2 y 4), si k = 3, entonces [math] x = \ sqrt {3} [/ math] y [math] y = 3 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

—– Nueva edición
Acabo de ver que solicitaste una solución entera. Entonces tienes que encontrar ak para lo cual

[matemáticas] kx = x ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] k = x ^ {k-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = k ^ {\ frac {1} {k-1}} [/ matemáticas]

tiene una solución entera. El problema es que k también debe ser un número entero, como [math] y = kx [/ math].

No conozco la demostración, pero estoy bastante seguro de que la única solución es cuando k = 2.

Tengo curiosidad también de ver la representación gráfica de y (x). Trataré de dibujar uno y lo publicaré.

—– Nueva edición
Para quien le interesa encontrar y (x):

de [matemática] x = k ^ {\ frac {1} {k-1}} [/ matemática] puede encontrar la función inversa que es [matemática] k = – \ frac {W (- \ frac {log (x )} {x})} {log (x)} [/ math]

Sustituyendo esto por [math] y = kx [/ math] obtienes

[matemática] y (x) = – \ frac {xW (- \ frac {log (x)} {x})} {log (x)} [/ math]

W (x) es la función Lambert W.

De Wikipedia:
la función Lambert W , también llamada función omega o logaritmo del producto , es un conjunto de funciones, a saber, las ramas de la relación inversa de la función z = f ( W ) = WeW donde eW es la función exponencial y W es cualquier número complejo . En otras palabras, la ecuación definitoria para W ( z ) es
para cualquier número complejo z .

Answer 3

Si quieres que Z = x ^ y = y ^ x sea real, entonces creo que Phillip Lloyd encontró todas las soluciones existentes. Pero encontré otro conjunto de soluciones (x, y) que conducen a valores complejos de Z:

Deje a y b ser números reales negativos. Entonces:

a ^ b = (-a) ^ b [cos πb + i sen πb] = [((-a) ^ (- b)) ^ (- 1)] [cos πb + i sen πb]
b ^ a = (-b) ^ a [cos πa + i sen πa] = [((-b) ^ (- a)) ^ (- 1)] [cos πa + i sen πa]

Por lo tanto, si (-a) ^ (- b) = (-b) ^ (- a), el contenido del primer paréntesis es igual en las ecuaciones anteriores.
Además, si πb = πa + 2kπ (lo que implica b = a + 2k), entonces el contenido del segundo paréntesis es igual en la ecuación anterior.

Entonces, si encontramos un par de números positivos (x, y) obedeciendo:

x ^ y = y ^ x
x = y + 2k

entonces (-x) ^ (- y) = (-y) ^ (- x)

k = 0 conduce a la identidad trivial x = y, extendida al tercer cuadrante
k = ± 2 conduce a la solución mencionada anteriormente (-2, -4) o (-4, -2)

Escribiendo x ^ (x-4) = (x-4) ^ x y ecuaciones similares, Wolfram Alpha puede proporcionar fácilmente las siguientes soluciones, como:

de k = ± 4: (-5.664714, -1.664714)
de k = ± 6: (-7.494172, -1.494172)
de k = ± 8: (-9.394467, -1.394467)

Answer 4

La única solución es (2,4) (y por supuesto (4,2)).
Ha habido muchas respuestas pero ninguna prueba hasta ahora, daré una prueba aritmética y una prueba de cálculo.

Aritmética:

Consideramos los enteros [matemáticas] 0 let [math] d = mcd (a, b) [/ math] (máximo divisor común). Existe [math] a ‘, b’ \ in \ mathbb {N} [/ math] para que [math] a = da ‘[/ math] y [math] b = db’ [/ math] y tengamos [ matemática] mcd (a ‘, b’) = 1 [/ matemática].
Ahora, la ecuación se convierte en
[matemáticas] d ^ {b’-a ‘} a’ ^ {b ‘} = b’ ^ {a ‘} [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] a ‘[/ matemáticas] divide [matemáticas] b’ ^ {a ‘} [/ matemáticas] pero [matemáticas] mcd (a’, b ‘^ {a’}) = 1 [/ matemáticas] por lo tanto, [matemáticas] a ‘= 1 [/ matemáticas].
Eso significa que [math] d ^ {b’-1} = b ‘[/ math] y, por lo tanto, [math] d> 1 [/ math].

Ahora suponemos que [math] b ‘\ geq 3 [/ math] entonces tenemos
[matemáticas] d ‘^ {b’-1} \ geq (1 + 1) ^ {b’-1}> 1 + \ binom {b’-1} {1} = b’ [/ matemáticas]
Esto es imposible ya que [math] d ‘^ {b’-1} = b’ [/ math]
Entonces [math] b ‘\ leq 2 [/ math] por lo tanto [math] b’ = 2 [/ math] y [math] d ‘= 2 [/ math].
Finalmente, tenemos [matemáticas] b = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]

Cálculo (mucho más fácil):

Suponemos que a Si [matemática] a ^ b = b ^ a [/ matemática] entonces tenemos [matemática] f (a) = f (b) [/ matemática] donde [matemática] f (x) = \ frac {\ ln x} {x} [/ matemáticas]
f crece estrictamente en [matemáticas]] 0, e] [/ matemáticas] y disminuye estrictamente en [matemáticas] [e, + \ infty [[/ matemáticas]
Entonces [matemática] a

Answer 5

Para [math] x, y \ geq \ mathrm {e} [/ math], se puede demostrar que si [math] x> y, x ^ y

Como [math] a, b> 3> \ mathrm {e} [/ math], podemos modificar la proposición de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle a ^ b> b ^ a \ iff b \ ln {a}> a \ ln {b} \ iff \ frac {\ ln {a}} {a}> \ frac {\ ln {b} } {b} [/ matemáticas]

En otras palabras, debemos demostrar que [math] \ displaystyle \ frac {\ ln {x}} {x} [/ math] es una función monotónicamente decreciente para [math] x> 3 [/ math]. Intuitivamente, puede comprender esto si recuerda que [math] x [/ math] crece más rápido que [math] \ ln {x} [/ math]. Se pueden obtener pruebas más rigurosas si diferenciamos [math] \ displaystyle \ frac {\ ln {x}} {x} [/ math] con respecto a [math] x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {\ ln {x}} {x} \ right) = \ frac {1 – \ ln {x }} {x ^ 2} <0 [/ matemáticas].

QED

Ahora, usamos este resultado para concluir que uno de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] debe ser [matemática] 2 [/ matemática]. Deje [math] x [/ math] = [math] 2 [/ math]. Entonces [matemáticas] 2 ^ y = y ^ 2 [/ matemáticas].

Tomando logaritmos base- [matemática] 2 [/ matemática], queda claro que y debe ser un poder de [matemática] 2 [/ matemática]. Deje [math] y = 2 ^ k [/ math]. A la izquierda, tenemos [matemáticas] 2 ^ {2 ^ k} [/ matemáticas] y a la derecha, [matemáticas] 2 ^ {2k} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] 2 ^ k = 2k \ implica k = 2 [/ matemáticas]. Lo que da: [matemáticas] x = 2, y = 4 [/ matemáticas].

Answer 6

Teniendo en cuenta que está aceptando el par (x, y) de (1,1) como respuesta, entonces cada instancia (r, r) para algún número real r funcionará.

Aparte de eso, el par (2, 4) y de manera similar (4,2) funcionarán.

EDITAR: Esta pregunta inicialmente preguntaba si había alguna solución distinta de x = 1 e y = 1. Como ha cambiado, las únicas soluciones son (2,4) y (4,2)

Answer 7

Pensando 2 minutos, me consiguió esto

[matemáticas] 2 ^ 4 = 4 ^ 2 [/ matemáticas]

y Reclamación: esta podría ser la única solución entera donde [math] x \ neq y [/ math]

ACTUALIZACIÓN: Este reclamo es falso.

Pruebe esto [matemática] \ left (2 ^ 4 \ right) ^ n [/ math] [math] = \ left (4 ^ 2 \ right) ^ n [/ math] donde [math] n \ in \ N [/ matemáticas]

ACTUALIZACIÓN: Pruebe esto también, [matemática] \ left (2 ^ 4 \ right) ^ n = \ left (4 ^ 2 \ right) ^ n [/ math] donde [math] n \ in \ Z [/ math]

Answer 8

¡Hay muchos valores xey que satisfacen x ^ y = y ^ x pero no muchos que son enteros!
¿Has considerado (-2, -4) y (-4, -2)?

En realidad, he encontrado muchas soluciones …

EDITAR: Gracias a Marcelo Arruda por encontrar otro conjunto de soluciones que he agregado al siguiente diagrama:

Si encuentra más soluciones, contácteme.

Answer 9

[matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] y = 4 [/ matemática] es la única otra solución donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​positivas.

Answer 10

X = sqrt3, y = 3.sqrt3 x ^ y aproximadamente 17.4

Answer 11

Si. [matemáticas] 2 ^ 4 = 4 ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 12

[matemáticas] (x, y) = (-2, -4) [/ matemáticas] o [matemáticas] (- 4, -2) [/ matemáticas] también son las soluciones

Answer 13

Un último comentario a esta bonita pregunta … ¿Cuál es el punto de intersección de los dos conjuntos de soluciones? Respuesta: x = y = e.

Answer 14

x, y = (2,4) o (4,2). Esta es la única solución entera posible para la ecuación anterior. Sustituya y = nx para llegar a una solución paramétrica.