Supongo que quiso decir que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son constantes y [matemáticas] x [/ matemáticas] es la variable. Agreguemos la constante [math] c [/ math] para el caso general:
[matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
La mitad izquierda y la mitad derecha se dividen por el vértice , el punto estacionario de [matemáticas] f [/ matemáticas] donde cambia de decreciente a creciente, o viceversa. La constante [matemática] c [/ matemática] no cambia la coordenada [matemática] x [/ matemática] del vértice, sino qué tan alto es.
Si [math] f [/ math] tiene ceros, el vértice estará exactamente en el medio de los dos ceros. Como la ecuación cuadrática es [matemática] \ dfrac {-b} {2a} [/ matemática] más o menos algo, sabemos que el vértice estará en [matemática] x = – \ dfrac {b} {2a}. [/ matemática] Podemos probar esto estableciendo la derivada igual a cero y resolviendo para [matemática] x. [/ matemática]
- ¿Hay alguna solución entera a la ecuación [matemáticas] x ^ y = y ^ x, x \ ne y [/ matemáticas]
- Al resolver ecuaciones polinómicas, ¿cómo hago conjeturas educadas cuando intento obtener sus ceros reales?
- ¿Cómo puede encontrar la solución exacta a una ecuación diferencial ordinaria en MATLAB?
- ¿Cuáles son algunos ejemplos de la vida real que requieren la ecuación cuadrática?
- Cómo encontrar el dominio de esta ecuación
[matemáticas] f ‘(x) = 2ax + b = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} [/ matemáticas]
La mitad izquierda de la parábola es simplemente [matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] donde [matemáticas] x \ le – \ dfrac {b} {2a}. [/ Matemáticas]
[Esta publicación no tiene vistas, así que la uso para trabajar en borradores de otras cosas]
Hicimos la raíz cuadrada relativamente fácil de una surd cuadrática en la última publicación. La raíz cúbica es una nuez más dura.
Por denested quiero decir que la solución es la suma de racionales y raíces de racionales, por lo que ya no tenemos radicales anidados.
Lo que busco es qué decirles a los estudiantes de secundaria o universitarios cuando se encuentran con [matemáticas] \ sqrt [3] {10 + 6 \ sqrt 3}. [/ Matemáticas] No es tan útil decirles en la teoría de Galois lo mínimo el polinomio factoriza completamente en su campo de división, que contiene el elemento denestado. Queremos hacer algo de álgebra y obtener una respuesta.
Hay todo un campo de expresiones radicales desenfrenadas, inspiradas por Ramanujan, quien dejó muchos ejemplos con pocos indicios de cómo se les ocurrió. Solo queremos manejar los casos comunes de la raíz cuadrada de una suma cuadrática, realizada la última publicación,
Dos procedimientos
Motivación: la solución para el cúbico deprimido
La solución a la depresión cúbica general [matemática] y ^ 3 – 3py = 2q [/ matemática] es
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {q + \ sqrt d} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt d} [/ matemáticas] donde [matemáticas] d = q ^ 2 – p ^ 3 [/ matemáticas ]
Centrémonos solo en una de estas raíces cúbicas, [math] \ sqrt [3] {q + \ sqrt d}. [/ Math] No hay ningún problema particular aquí cuando [math] d [/ math] es un cuadrado perfecto – en En ese caso, hemos denegado nuestra expresión.
(Debemos tener en cuenta la ambigüedad en la solución cúbica donde cada raíz del cubo tiene potencialmente tres valores, por lo que hay nueve valores posibles para [math] y [/ math], cuando de hecho sabemos que un cúbico solo tendrá como máximo tres valores para [ matemáticas] y. [/ matemáticas])
En esta publicación nos preocupa el caso cuando [math] d [/ math] no es un cuadrado perfecto. Eso es típicamente donde nos quedamos atrapados aplicando la fórmula cúbica. Algunas veces estas expresiones tienen buenas raíces cúbicas; Nos gustaría saber cuándo y qué son.
Como ejemplo, tomemos un cúbico deprimido que sabemos que tiene una raíz [matemáticas] y = -1 [/ matemáticas]: [matemáticas] y ^ 3 + 3 y = -4. [/ Matemáticas] Tenemos [matemáticas] p = -1, q = -2, d = q ^ 2-p ^ 3 = 5 [/ matemáticas] entonces
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {-2 + \ sqrt 5} + \ sqrt [3] {-2 – \ sqrt 5} [/ matemáticas]
Con una calculadora podemos verificar [matemática] y = -1 [/ matemática] (al menos aproximadamente) pero ¿cómo llegamos allí algebraicamente?
Necesitamos descubrir que
[matemáticas] (\ frac 1 2 (\ sqrt 5 -1) +) ^ 3 = (8 \ sqrt 5 – 16) / 8 = -2 + \ sqrt 5 [/ matemáticas]
y [matemáticas] (\ frac 1 2 (- \ sqrt 5 -1) +) ^ 3 = (-8 \ sqrt 5 – 16) / 8 = -2 – \ sqrt 5 [/ matemáticas]
Entonces [math] y = \ frac 1 2 (\ sqrt 5 -1) + \ frac 1 2 (- \ sqrt 5 -1) = -1 [/ math]
Prueba de norma
Estamos detrás de [matemáticas] \ sqrt [3] {a + b \ sqrt d} [/ matemáticas] suponiendo que [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas] racional.
Notamos en el ejemplo anterior que está relacionado con [math] \ sqrt [3] {a -b \ sqrt d}. [/ Math] Si multiplicamos los dos juntos obtenemos
[matemáticas] \ sqrt [3] {a + b \ sqrt d} \ sqrt [3] {a – \ sqrt d} = \ sqrt [3] {a ^ 2 – bd ^ 2} [/ matemáticas]
Ese es un número racional en la raíz cúbica. Es la norma que discutimos en el último post:
[matemática] N (a + b \ sqrt d) = a ^ 2-bd ^ 2 [/ matemática]
Mostramos que la norma del producto es el producto de las normas. Entonces, en el caso de la raíz cuadrada para denestrar con éxito, la norma [matemáticas] a ^ 2-bd ^ 2 [/ matemáticas] tenía que ser un cuadrado perfecto en los racionales. En el caso de la raíz del cubo, la norma tiene que ser un cubo perfecto.
En nuestro ejemplo, [math] (- 2 + \ sqrt 5) (- 2 – \ sqrt 5) = (-2) ^ 2 – 1 (\ sqrt 5) ^ 2 = -1 [/ math] es de hecho un perfecto cubo.
Abreviaremos este valor particular de la norma [math] c ^ 3 [/ math].
[matemáticas] c ^ 3 = N (a + b \ sqrt d) = a ^ 2-bd ^ 2 [/ matemáticas]
Inmediatamente podemos descartar muchos surds que no tendrán una buena raíz cúbica con la prueba de la norma.
Tenga en cuenta que con [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas] enteros, [matemáticas] c [/ matemáticas] será un número entero si la norma es un cubo perfecto.
Sabemos si tenemos una solución [matemática] u + v \ sqrt d [/ matemática] tal que
[matemáticas] a + b \ sqrt d = (u + v \ sqrt d) ^ 3 [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] N (u + v \ sqrt d) = u ^ 2 – v ^ 2 d = c [/ matemáticas]
Una pequeña simplificación
Consideremos explícitamente los numeradores y denominadores de los diversos números racionales involucrados. Aquí [matemáticas] a, b, d, A, B, D [/ matemáticas] son enteros.
[matemáticas] x ^ 3 = \ dfrac a A + b B \ sqrt {\ dfrac d D} [/ matemáticas]
Podemos dejar que [matemáticas] y ^ 3 = A ^ 3 B ^ 3 D ^ 3 x ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 3 = A ^ 3 B ^ 3 D ^ 3 x ^ 3 = A ^ 2 B ^ 3 D ^ 3 a + A ^ 3 B ^ 2 D ^ 2 b \ sqrt {d D} [/ matemáticas ]
Así que hemos reducido nuestra raíz cúbica de la suma cuadrática racional a la de una suma cuadrática integral.
[matemáticas] y = ABD x = \ sqrt [3] {A ^ 2 B ^ 2 D ^ 2 (a B + A b \ sqrt {d D})} [/ matemáticas]
Si podemos resolver esto, podemos recuperar nuestra raíz cúbica denestada original dividiéndola entre el producto de los denominadores originales.
Del mismo modo, solo debemos preocuparnos por los signos positivos. Digamos que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son enteros positivos ahora. En primer lugar, siempre podemos cambiarlo para que la parte entera del radicando sea positiva.
[matemáticas] \ sqrt [3] {- a + b \ sqrt d} = \ sqrt [3] {- (a – b \ sqrt d)} = – \ sqrt [3] {a – b \ sqrt d} [ /matemáticas]
Además, dada una [matemática] \ sqrt [3] {a + b \ sqrt d} [/ matemática] densada podemos escribir inmediatamente la [matemática] \ sqrt [3] {a – b \ sqrt d} [/ matemáticas]
Si [matemáticas] (x + y \ sqrt d) ^ 3 = a + b \ sqrt d [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] (xy \ sqrt d) ^ 3 = a – b \ sqrt d [/ matemáticas]
Prueba:
[matemáticas] a + b \ sqrt d = (x + y \ sqrt d) ^ 3 = (x ^ 3 + xy ^ 2 d) + (x ^ 2 y + y ^ 3) \ sqrt d [/ matemáticas]
[matemáticas] a = x ^ 3 + xy ^ 2 d [/ matemáticas]
[matemáticas] b = x ^ 2 y + y ^ 3 [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] (xy \ sqrt d) ^ 3 = (x ^ 3 + xy ^ 2 d) – (x ^ 2 y + y ^ 3) \ sqrt d = a – b \ sqrt d \ quad \ checkmark [/ math ]
Recuperación del cúbico deprimido relacionado
Deje [math] x = \ sqrt [3] {a + b \ sqrt d} [/ math]
Hay un conjugado de [math] x [/ math], no necesariamente el conjugado complejo que escribimos
[matemáticas] x ^ * = \ sqrt [3] {a – b \ sqrt d} [/ matemáticas]
Hay un cúbico deprimido que tiene la solución.
[matemáticas] y = x + x ^ * [/ matemáticas]
Por ejemplo, si [math] d [/ math] es negativo, estamos hablando de conjugación compleja aquí, así que sabemos que [math] y [/ math] será real. Si [math] a \ pm b \ sqrt d [/ math] son cubos perfectos de la forma [math] (u \ pm v \ sqrt d) ^ 3 [/ math] entonces la suma de conjugados formará todas las raíces cuadradas vete y nos quedaríamos con [math] y = 2u. [/ math] La historia es similar para positivo [math] d. [/ math]
[matemáticas] y ^ 3 = (x + x ^ *) ^ 3 = x ^ 3 + (x ^ *) ^ 3 + 3 xx ^ * (x + x ^ *) = a + b \ sqrt d + a – b \ sqrt d – 3 \ sqrt [3] {a ^ 2 – bd ^ 2} (x + x ^ *) = 2a – 3c y [/ math]
[matemáticas] y ^ 3 + 3cy = 2a [/ matemáticas]
Ese es el cúbico deprimido que da lugar a la suma de formas conjugadas de la raíz cúbica que buscamos.
Verifique: en nuestro caso [matemática] c = -p [/ matemática] y [matemática] a = q [/ matemática] en [matemática] y ^ 3 – 3py = 2q [/ matemática] entonces
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {a + \ sqrt {a ^ 2 + c ^ 3}} + \ sqrt [3] {a – \ sqrt {a ^ 2 + c ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 3 = a ^ 2-bd ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {a + \ sqrt {a ^ 2 +}} + \ sqrt [3] {a – \ sqrt {a ^ 2 + c ^ 3} [/ matemáticas]
[TODO arregla el letrero aquí]
Restringiendo a enteros positivos [matemática] a, b, [/ matemática] entero no cuadrado [matemática] d [/ matemática]
Resolviendo un caso especial
Primero buscamos una [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] tal que
[matemáticas] a + b \ sqrt d = (x \ pm \ sqrt y) ^ 3 [/ matemáticas]
En expansión,
[matemáticas] a + b \ sqrt d = (x ^ 3 + 3xy) \ pm (3x ^ 2 + y) \ sqrt y [/ matemáticas]
Hasta ahora no hemos hecho ninguna suposición sobre los factores cuadrados de [math] y [/ math] y [math] d. [/ math] Por ahora supongamos que [math] y = d [/ math] para obtener
[matemáticas] a = x (x ^ 2 + 3d) [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 3x ^ 2 + d [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(bd) / 3} [/ matemáticas]
Vamos a deshacernos de la fracción e intentarlo en nuestro ejemplo modificado [math] \ sqrt [3] {-16 + 8 \ sqrt 5}. [/ Math] Tenemos [math] a = -16, b = 8, d = 5. [/ Matemáticas]
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(8 – 5) / 3} = \ sqrt 1 = \ pm 1 [/ matemáticas]
Necesitamos [math] x = -1 [/ math] para obtener el signo negativo en el cubo, por lo que concluimos
[matemáticas] (- 1 + \ sqrt 5) ^ 3 = -16 + 8 \ sqrt 5 [/ matemáticas]
Eso funcionó fácilmente, pero hicimos una suposición bastante fuerte para llegar aquí. ¿Qué pasaría si hubiéramos ejecutado nuestro ejemplo original [math] \ sqrt [3] {-2 + \ sqrt 5} [/ math]?
Aquí tenemos [matemática] a = -2, b = 1, d = 5 [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {(1 -5) / 3} [/ matemática] no es particularmente agradable. Pero podríamos haber dicho [matemáticas] b = 2, d = 5/4 [/ matemáticas] desde [matemáticas] \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5/4} [/ matemáticas] y luego
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(2 – 5/4) / 3} = \ pm \ sqrt {1/4} = \ pm 1/2 [/ matemáticas]
para una solución de
[matemáticas] (- \ frac 1 2 + \ sqrt {\ frac 5 4}) ^ 3 = \ sqrt 5 -2 [/ matemáticas]
El caso entero
Ahora supondremos que [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son enteros y [matemática] d [/ matemática] no tiene factores cuadrados. Supongamos que [math] a> 0 [/ math] por ahora. Asumiremos que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son enteros y buscaremos soluciones para
[matemáticas] a + b \ sqrt d = (x \ pm y \ sqrt d) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] a + b \ sqrt d = (x ^ 3 + 3 xy ^ 2 d) \ pm (3 x ^ 2 y + y ^ 3 d) \ sqrt d [/ matemáticas]
[matemáticas] a = x ^ 3 + 3 xy ^ 2 d [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 3 x ^ 2 y + y ^ 3 d [/ matemáticas]
[matemáticas] a – x ^ 3 = 3 xy ^ 2 d [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2 = \ dfrac {a – x ^ 3} {3xd} = \ dfrac {1} {3d} \ left (\ dfrac {a} {x} – x ^ 2 \ right) [/ math]
Si suponemos que [math] a / x [/ math] debe ser un número entero, entonces vemos que estamos tratando con factores complementarios de [math] a [/ math], a saber [math] x [/ math] y [math] a / x. [/ math] Entonces podemos enumerar todos los pares [math] (h, k), 1 \ le h \ le k [/ math], donde [math] hk = a. [/ math] Entonces tener un conjunto finito de cosas para probar.
Para que [math] y [/ math] sea un número entero, necesitamos que el lado derecho sea positivo, por lo que elegimos solo los pares donde [math] k \ ge h ^ 2. [/ Math] Esa diferencia, [math] kh ^ 2 [/ math] debe ser un múltiplo de [math] 3d [/ math]. Además, ese cociente [matemáticas] (kh ^ 2) / 3d [/ matemáticas] debe ser un cuadrado perfecto. Entonces [matemáticas] x = h [/ matemáticas] y [matemáticas] y = \ sqrt {(kh ^ 2) / 3d}. [/ Matemáticas]
Probemos con [math] \ sqrt [3] {16 + 8 \ sqrt 5}. [/ Math] Tenemos [math] a = 16, b = 8, d = 5. [/ Math]
El par de factores de [matemáticas] 16 [/ matemáticas] son [matemáticas] (1,16), (2,8), (4,4). [/ Matemáticas] Podemos detenernos allí.
Solo dos primeros dos satisfacen [matemáticas] k> h ^ 2. [/ Matemáticas] Hagamos triples [matemáticas] (h, k, kh ^ 2) [/ matemáticas]: Tenemos [matemáticas] (1,16,15) , (2,8,4). [/ Matemáticas]
[matemáticas] 3d = 3 (5) = 15. [/ matemáticas] Solo el primer triple tiene un múltiplo de [matemáticas] 15 [/ matemáticas] para [matemáticas] kh ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = h = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sqrt {(kh ^ 2) / 3d} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 + 1 \ sqrt 5) ^ 3 = 16 + 8 \ sqrt 5 \ quad \ marca de verificación [/ math]
Dos ecuaciones en dos incógnitas
Este problema parece una ecuación de diofantina, que requiere soluciones en enteros. A diferencia de la mayoría de las ecuaciones de Diophantine, esta no está por lo demás indeterminada. Tenemos nuestras dos ecuaciones en dos incógnitas y un conjunto de soluciones bien determinado.
[matemáticas] a = x ^ 3 + 3 xy ^ 2 d [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 3 x ^ 2 y + y ^ 3 d [/ matemáticas]
Probemos con [math] \ sqrt [3] {10 + 6 \ sqrt {3}}. [/ Math] [math] a = 10, b = 6, d = 3. [/ Math] Podemos trazar nuestras dos ecuaciones :
Hay una buena solución en [math] x = 1, y = 1 [/ math] y no hay otra posibilidad de encontrar una solución a medida que las curvas se separan por separado.
No eliminar
En lugar de tratar de eliminar variables, veamos qué sucede cuando equiparamos las constantes. Solo voy a jugar con el álgebra por un tiempo. Siento que debemos sustituir la norma para avanzar:
[matemáticas] c ^ 3 = a ^ 2 – bd ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 – dy ^ 2 = c [/ matemáticas]
\patio
[matemáticas] ab = bx ^ 3 + 3bd xy ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] ab = 3 ax ^ 2 y + ady ^ 3 [/ matemáticas]
[matemática] bx ^ 3 + 3bd xy ^ 2 = 3 ax ^ 2 y + ady ^ 3 [/ matemática]
[matemáticas] bx (x ^ 2 + 3d y ^ 2) = ay (3 x ^ 2 + dy ^ 2) [/ matemáticas]
\patio
[matemáticas] x ^ 2 + 3d y ^ 2 = x ^ 2 – dy ^ 2 + 4 dy ^ 2 = c + 4dy ^ 2 [/ matemáticas]
[parece progreso]
[matemática] dy ^ 2 = x ^ 2 – c [/ matemática]
[matemáticas] 3 x ^ 2 + dy ^ 2 = 4x ^ 2 – c [/ matemáticas]
[matemáticas] bx (c + 4dy ^ 2) = ay (4x ^ 2 – c) [/ matemáticas]
[matemáticas] bcx + 4bd xy ^ 2 = 4ax ^ 2 y – ac y [/ matemáticas]
[matemática] bcx + ac y = 4ax ^ 2 y – 4bd xy ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] c (bx + ay) = 4xy (ax – bdy) [/ matemáticas]
¿Es esto solo una ecuación cuadrática que relaciona [matemáticas] x [/ matemáticas] con [matemáticas] y [/ matemáticas]?
[matemática] bcx + ac y = 4ax ^ 2 y – 4bd xy ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] 4ay x ^ 2 – b (c + 4d y ^ 2) x -ac y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ dfrac {1} {8a} (b (c + 4d y ^ 2) \ pm \ sqrt {b ^ 2 (c + 4d y ^ 2) ^ 2 + 16a ^ 2 cy ^ 2} [ /matemáticas]
[matemática] dy ^ 2 = x ^ 2 – c [/ matemática]
[matemáticas] a = x ^ 3 + 3 xy ^ 2 d = x ^ 3 + 3x (x ^ 2 -c) [/ matemáticas]
a = 4x ^ 3 – 3cx = x (4x ^ 2 – 3c) \ quad Eso es un cúbico deprimido para x. Tengo que volver a esto para ver si al menos recuperamos el problema original.
[matemáticas] b = 3 x ^ 2 y + y ^ 3 d = y (4x ^ 2 – c) [/ matemáticas]
Ambos son factores bastante interesantes de a y b
\patio
[matemática] bx ^ 3 – 3 ax ^ 2 y = ady ^ 3 – 3 bdxy ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] bx ^ 2 (bx – 3ay) = dy ^ 2 (ay – 3 bx) [/ matemáticas]
d = \ dfrac {[math] x ^ 2} {y ^ 2} \ \ dfrac {bx – 3ay} {ay – 3 bx} [/ math]
Veámoslo de otras maneras para completar
[matemáticas] 3bd xy ^ 2 – 3 ax ^ 2 y = ady ^ 3 – bx ^ 3 [/ matemáticas]
[matemática] 3 xy (bdy – ax) = ady ^ 3 – bx ^ 3 [/ matemática]
Ecuación de Pell
Ejemplos
Mostrar [matemáticas] \ sqrt [3] {\ sqrt {108} +10} – \ sqrt [3] {\ sqrt {108} -10} = 2 [/ matemáticas]?
Método 1.
[matemáticas] a = 10, b = 1, d = 108 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = a ^ 2-b ^ 2d = -8 [/ matemáticas] es un cubo perfecto
[matemáticas] c = -2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(bd) / 3} [/ matemáticas]
[math] bd [/ math] es negativo; Probemos con [math] \ sqrt {108} = 6 \ sqrt 3 [/ math]
[matemáticas] a = 10, b = 6, d = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {(6- 3) / 3} = \ pm 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = d = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 + \ sqrt {3}) ^ 3 = 10 + 6 \ sqrt 3 \ quad \ marca de verificación [/ math]
Del mismo modo [matemáticas] (1- \ sqrt 3) ^ 3 = 10 – 6 \ sqrt 3 [/ matemáticas]
Agregando [math] (1 + \ sqrt {3}) + (1- \ sqrt 3 = 2 \ quad \ checkmark [/ math]
Método 2
[matemática] (h, k) [/ matemática] son pares de factores de [matemática] a [/ matemática], [matemática] h \ le k. [/ matemática] Para que [matemática] y [/ matemática] sea un enteros necesitamos que el lado derecho sea positivo, por lo que elegimos solo los pares donde [matemáticas] k \ ge h ^ 2. [/ matemáticas] Esa diferencia, [matemáticas] kh ^ 2 [/ matemáticas] debe ser un múltiplo de [ matemáticas] 3d [/ matemáticas]. Además, ese cociente [matemáticas] (kh ^ 2) / 3d [/ matemáticas] debe ser un cuadrado perfecto. Entonces [matemáticas] x = h [/ matemáticas] y [matemáticas] y = \ sqrt {(kh ^ 2) / 3d}. [/ Matemáticas]
[matemáticas] a = 10. b = 6; d = 3; (h, k, (kh ^ 2) / 9) = (1,10, 1), (2,5, 4/9) [/ matemáticas]
Solo el primero dio un número entero para [math] y [/ math] y es un cuadrado perfecto.
[matemáticas] x = h = 1; y = \ sqrt {(kh ^ 2) / 3d} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 + 1 \ sqrt 3) ^ 3 = 10 + 6 \ sqrt 3 \ quad \ marca de verificación [/ math]