Cómo encontrar el dominio de esta ecuación

Answer 1

La clave para todos estos problemas es pensar en los valores de [math] x [/ math] que le permitirán obtener un valor real para [math] y [/ math] en la solución. En su primer ejemplo (que es una elipse), vemos que podemos escribir [matemáticas] y ^ 2 = \ frac 9 {16} (16-x ^ 2) [/ matemáticas]. Como el lado izquierdo es el cuadrado de [math] y [/ math], Sabemos que debe ser no negativo. Eso significa que el lado derecho no debe ser negativo. Además, sabemos que [matemática] y ^ 2 [/ matemática] puede ser CUALQUIER valor no negativo, por lo que siempre que el lado derecho de la ecuación sea un número no negativo, podemos hacer que los dos lados sean iguales. No es difícil ver que cualquier valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] entre -4 y 4 (inclusive) mantiene el lado derecho no negativo, pero cualquier otro valor hace que el lado derecho sea negativo. Eso significa que solo estos valores de [math] x [/ math] pueden estar en el dominio.

Su próximo ejemplo es [matemáticas] y = | x | [/ matemáticas]. El lado izquierdo es solo [math] y [/ math], que puede ser cualquier número desde [math] – \ infty [/ math] a [math] \ infty [/ math]. Entonces eso significa que mientras el lado derecho sea un número real, la ecuación puede ser satisfecha. Pero [math] | x | [/ math] siempre es un número real para cualquier valor real de [math] x [/ math], por lo que el dominio es todos los números reales.

El siguiente ejemplo [matemáticas] 2y = 7x-14 [/ matemáticas]. El lado izquierdo puede tomar cualquier número real, por lo que siempre que la derecha tome un número real, la ecuación puede satisfacerse. Pero cualquier [math] x [/ math] da un valor real a la derecha, por lo que el dominio vuelve a ser todo real [math] x [/ math].

El último ejemplo puede ser un poco complicado. El lado izquierdo solo puede ser un valor real no negativo (ya que es un cuadrado). Pero puede ser CUALQUIER valor no negativo. Entonces, ¿qué valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] hacen que el lado derecho no sea negativo? Negativo [math] x [/ math] da un negativo para [math] x ^ 3 [/ math], por lo que esos valores no funcionan. Todo lo demás (es decir, [math] x \ ge 0 [/ math]) conduce a un lado derecho no negativo, por lo que todos esos valores están en el dominio.

Answer 2

Deje que [math] \ mathbb {R} [/ math] sea el conjunto de todos los números reales. Deje que [math] y = f (x) [/ math] sea la función para la que está intentando encontrar el dominio. Esta función toma un número real y genera un número real. La mayoría de las funciones que encontrará en su clase probablemente serán de este tipo (hay versiones más complicadas, pero por ahora, no debemos preocuparnos por ellas).

Un dominio [math] D \ subset \ mathbb {R} [/ math] es un dominio válido si [math] \ forall x \ in D, y \ in \ mathbb {R} [/ math]. Siempre que se cumpla esta condición, decimos que la función [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas] está bien definida en el dominio [matemáticas] D [/ matemáticas].

Considere [math] y = \ sqrt {x} [/ math]. [math] D = \ {1, 2, 3 \} [/ math] es un dominio válido, porque para cada valor en [math] D [/ math], la raíz de ese valor es un número real. Por otro lado, [math] D = \ {- 1, 2, 3 \} [/ math] no es un dominio válido porque existe un valor -1 para el cual no se puede calcular la raíz.

Cuando alguien le pide que encuentre el dominio de una función, le pide que encuentre el dominio válido más grande. Por ejemplo, sabemos que la raíz cuadrada se define solo para números no negativos, por lo tanto, el dominio válido más grande será [math] [0, \ infty) [/ math].

Tomemos su primer ejemplo e intentemos encontrar el dominio válido más grande para esa función. La función dada es [matemática] 9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 [/ matemática]. Antes que nada, escribámoslo en la forma [math] y = f (x) [/ math]. Esto nos da, [matemáticas] y = \ pm \ frac {1} {4} \ sqrt {144 – 9x ^ 2} [/ matemáticas]. Ahora, tenga en cuenta que la raíz cuadrada está bien definida solo para números no negativos, por lo tanto, en esta ecuación [matemáticas] y [/ matemáticas] estará bien definida solo si [matemáticas] 144 – 9x ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas ], por lo tanto
[matemáticas] 144 – 9x ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 144 \ geq 9x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 16 \ geq x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 \ geq x \ geq -4 [/ matemáticas]
Por lo tanto, el dominio válido más grande para la función es [matemática] -4 \ leq x \ leq 4 [/ matemática].

¿Puedes trabajar para los otros ejemplos que citaste?