¿De cuántas maneras hay para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Answer 1

Dado un sistema homogéneo de ecuaciones, Ax = 0, A se llama matriz de transformación. Geométricamente, el conjunto de ecuaciones genera (describe / caracteriza, ..) un espacio vectorial. La matriz A proyecta el vector x en un subespacio llamado espacio nulo de A. Si Ax = 0 tiene una solución, entonces ese espacio no está vacío y el sistema de ecuaciones tendrá una solución única o infinitas. Otros han respondido las técnicas habituales, aunque también podría agregar pivote como componente de los métodos a la lista. Más recientemente, para las matrices que tienen una estructura particular, por ejemplo, son simétricas y definidas positivamente, las técnicas especiales como la descomposición de Cholesky se han vuelto populares debido a su velocidad computacional. El algoritmo de PageRank de Google tiene en su corazón resolver ecuaciones lineales rápidamente. PageRank y más allá de Google: la ciencia de las clasificaciones de motores de búsqueda de Langville y Meyer es una introducción fascinante a uno de los usos más creativos del álgebra lineal.

Answer 2

Hay varias técnicas para resolver un sistema lineal de tipo Ax = b, depende de lo que necesite.
para problemas simples de 2 o 3 variables, puede usar la sustitución de variables. puede calcular el inverso de A (I / A) yx = A ^ {- 1} * b, pero no es muy interesante en la práctica.

Las técnicas más prácticas en las aplicaciones del mundo real son la factorización matricial. por ejemplo: si su sistema es completamente no simétrico, usamos descomposición LU, para el sistema simétrico usamos descomposición cholesky (LL).
si su sistema es escaso, puede usar técnicas directas o iterativas: técnica directa con descomposición LU (ilu, ilut …) y técnicas iterativas como GMRES o BICGSTAB para problemas generales o CG para problemas simétricos.
Una condición, su matriz A debe ser definida (positiva definida para algunas técnicas como cholesky y CG).