Cómo resolver este problema [matemáticas] 2 ^ {x-1} -2 ^ {x-3} = 3 ^ {x-2} -3 ^ {x-3} [/ matemáticas] para encontrar [matemáticas] x [ /matemáticas]

Answer 1

Podemos reescribir todos estos términos
[matemáticas] 2 ^ {x-1} = \ frac {2 ^ {x}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ {x-3} = \ frac {2 ^ {x}} {8} [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ {x-2} = \ frac {3 ^ {x}} {9} [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ {x-3} = \ frac {3 ^ {x}} {27} [/ matemáticas]

Si factorizamos [matemáticas] 2 ^ {x} [/ matemáticas] en el lado izquierdo y [matemáticas] 3 ^ {x} [/ matemáticas] en el lado derecho, te queda con

[matemáticas] 2 ^ {x} (1 / 2-1 / 8) = 3 ^ {x} (1 / 9-1 / 27) [/ matemáticas]
Esto se convierte en [matemáticas] \ frac {2 ^ {x}} {3 ^ {x}} = \ frac {1 / 9-1 / 27} {1 / 2-1 / 8} [/ matemáticas]
que es [matemáticas] (2/3) ^ {x} = \ frac {16} {81} [/ matemáticas]
Puede resolver esto con logaritmos, pero es más fácil si se da cuenta de [matemáticas] 16 = 2 ^ {4} [/ matemáticas] y [matemáticas] 81 = 3 ^ {4} [/ matemáticas]
lo que significa [matemáticas] (2/3) ^ {x} = (2/3) ^ {4} [/ matemáticas] yx = 4.

Answer 2

[matemáticas] (2 ^ x) (1/2) – (2 ^ x) (1/8) = (3 ^ x) (1/9) – (3 ^ x) (1/27) [/ matemáticas]
[matemáticas] (2 ^ x) (3/8) = (3 ^ x) (2/27) [/ matemáticas]
[matemáticas] (2/3) ^ x = (16/81) [/ matemáticas]

Por lo tanto, x = 4.

Answer 3

Si está encontrando todas las soluciones en [math] \ mathbb {C} [/ math], entonces, desde el último paso, [math] (\ frac {2} {3}) ^ {x-4} = 1 [/ math ], además de [math] x = 4 [/ math] es una solución, usando el hecho de que [math] e ^ {2n \ pi i} = 1 [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math], tenemos

[matemáticas] (\ frac {2} {3}) ^ {x-4} = e ^ {2n \ pi i} [/ matemáticas] para todos los enteros [matemáticas] n [/ matemáticas],
tomando troncos de ambos lados,
[matemática] (x – 4) \ ln \ frac {2} {3} = 2n \ pi i [/ matemática] para todos los enteros [matemática] n [/ matemática],
por lo tanto
[matemáticas] x = 4 + \ frac {2n \ pi i} {\ ln (2/3)} [/ matemáticas] para todos los enteros [matemáticas] n [/ matemáticas],

Answer 4

Utiliza Wolfram Alpha y Mathematica. 😉

[matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

Answer 5

Si reorganizas usando álgebra básica obtienes
9/8 = 3 ^ (x-2) / 2 ^ (x -1)

Entonces 9 es 3 ^ 2 y 8 es 2 ^ 3.
Entonces x-2 = 2 y x-1 = 3 y hay una solución común x = 4 que es la respuesta.