¿Qué significa cuando decimos que una función está limitada?

Hagamos un ejemplo. Digamos [matemáticas] f (x) = x ^ 3-2x ^ 2 + 5x-10 [/ matemáticas]. Puede notar que 2 es una raíz de [math] f (x) = 0 [/ math] conectándolo. Una consecuencia es que podemos factorizar [math] x-2 [/ math] para obtener [math] f (x) = (x-2) (x ^ 2 + 5) [/ matemáticas]. Lo que queda, [matemáticas] x ^ 2 + 5 [/ matemáticas], es la [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] en el enunciado. Observe que [math] g (2) \ neq0 [/ math].

Ahora, en cambio, considere la función [matemáticas] f (x) = (x-2) ^ 2 (x + 7) [/ matemáticas]. Aquí, 2 es una raíz doble. Ahora, si factorizamos [matemática] x-2 [/ matemática], obtenemos [matemática] f (x) = (x-2) g (x) [/ matemática], donde [matemática] g (x) = (x-2) (x + 7) [/ matemáticas]. Aquí, [math] g (2) = 0 [/ math], porque 2 no era una raíz simple. Era una doble raíz.

La razón por la que dicen acotado es que no quieren permitirle “factorizar” [matemáticas] f (x) = x ^ 2 + 3 [/ matemáticas] como [matemáticas] (x-2) \ frac {x ^ 2 + 3} {x-2} [/ matemática] con [matemática] g (x) = \ frac {x ^ 2 + 3} {x-2} [/ matemática]. En este ejemplo, f no tiene una raíz en 2, por lo que esta factorización debe ser inválida. De hecho, g explota hasta el infinito cuando x se acerca a 2.

Significa que está limitado por una constante, es decir, no está explotando hasta el infinito en ninguna parte. En este caso particular, es bueno saber ya que de lo contrario para [math] g (\ xi) [/ math] podría ir al infinito y hacer una forma indeterminada [math] 0 \ cdot \ infty [/ math].

Aún así, esto no se siente bien. Nunca se dijo que f se limita a sí misma. Si no lo es, si tiene algunos, digamos, polos, entonces toda esta historia es nula (es decir, no podría garantizar la limitación de g en todo el dominio).

La importancia de g (x) es expresar f (x) como una función de x con la raíz zeta de una manera más generalizada.

g (x) debe estar acotado aquí. Porque de lo contrario, podría tomar infinito para algunos x = zeta, la raíz, en cuyo caso se producirá una forma indeterminada, que no se desea.

Aparte de eso, no puedo ver ninguna razón por ahora. Son las 2:40 AM, así que tal vez ahora soy lento.