La curva con la ecuación [matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] pasa por los puntos [matemática] P = (2,6) [/ matemática] y [matemática] Q = (3,16) [ / math], y tiene un gradiente de [math] 7 [/ math] en el punto [math] P [/ math]. ¿Cómo podemos encontrar los valores de las constantes [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c …………… (1) [/ matemáticas]

enchufar (2,6)

[matemáticas] 6 = 4a + 2b + c …………… .. (2) [/ matemáticas]

enchufar (3,16)

[matemáticas] 16 = 9a + 3b + c …………… .. (3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2ax + b [/ matemáticas]

En (2,6)

[matemáticas] 7 = 4a + b …………………… (4) [/ matemáticas]

Las 4 ecuaciones deben ser consistentes en a, b, c. Entonces

[matemáticas] \ begin {vmatrix} y & x ^ 2 & x & 1 \\ 6 & 4 & 2 & 1 \\ 16 & 9 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 & 0 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Uno puede expandir el determinante tal como es o hacer algunas transformaciones.

usando la transformación de fila [math] R_3-R_2-R_4 [/ math] en [math] R_3 [/ math]

[matemáticas] \ begin {vmatrix} y & x ^ 2 & x & 1 \\ 6 & 4 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 1 & 0 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

usando la transformación de fila [math] R_2-R_4 en R_2 [/ math] seguido de [math] R_1-R_2 [/ math] en [math] R_1 [/ math]

[matemáticas] \ begin {vmatrix} y + 1 & x ^ 2 & x-1 & 0 \\ – 1 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 1 & 0 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Ahora expandiendo el determinante por [matemática] 4_ {th} [/ matemática] columna

[matemáticas] \ begin {vmatrix} y + 1 & x ^ 2 & x-1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Ahora al expandir el determinante obtenemos

[matemáticas] y = 3x ^ 2–5x + 4 [/ matemáticas]

a = 3; b = -5; c = 4

Answer 2

Los pasos básicos serán derivar 3 ecuaciones simultáneas en a, b & c que le permitirán resolverlas.
Se dan dos puntos en la curva, que le proporcionarán dos ecuaciones, y la ecuación para la pendiente se puede obtener diferenciando la fórmula de la curva, proporcionando un tercer

Answer 3

Creo que la ecuación no es correcta, ya que dice ‘y’ siempre es cero. Como has dado dos puntos por donde pasa la curva, supongo que la ecuación correcta es
[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

Ahora sustituye los dos puntos para obtener dos ecuaciones en a, by c.
[matemáticas] x = 2, y = 6 [/ matemáticas] -> [matemáticas] 6 = 4a + 2b + c [/ matemáticas] -> (1)
[matemáticas] x = 3, y = 16 [/ matemáticas] -> [matemáticas] 16 = 9a + 6b + c [/ matemáticas] -> (2)

Además, el gradiente en P es 7. El gradiente no es más que la pendiente de la curva o la derivada de la ecuación [math] \ frac {dy} {dx} [/ math]. Para la ecuación dada
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 2ax + b [/ matemáticas]
Ahora sustituya [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] (punto P) y [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 = 4a + b [/ matemáticas] -> (3)

Ahora tenemos ecuaciones simultáneas (1), (2) y (3) en términos de a, by c. Hay infinidad de formas de resolver ecuaciones simultáneas, por las cuales obtienes
[matemáticas] a = \ frac {18} {11} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = \ frac {5} {11} [/ matemáticas]
[matemáticas] c = \ frac {-16} {11} [/ matemáticas]

Ahora, le recomendaría investigar sobre la resolución de ecuaciones simultáneas y también hacer más problemas como este para comprender los conceptos cubiertos aquí.

Editar: una pequeña corrección, la ecuación (2) debe ser
[matemáticas] 16 = 9a + 3b + c [/ matemáticas]
El procedimiento sigue siendo el mismo, pero la respuesta final es diferente.