Cómo encontrar el número de raíces de un polinomio de orden ‘n’ y con coeficientes ‘m’ cero

El número de coeficientes de un polinomio que resulta ser cero tiene una relación muy débil con el número de raíces de ese polinomio. Por lo tanto, no puede encontrar el número de raíces solo dados los dos números [matemática] n [/ matemática] (grado) y [matemática] m [/ matemática] (número de coeficientes cero).

Sobre los números reales

Los polinomios [matemática] X ^ 2 + 1 [/ matemática] y [matemática] X ^ 2-1 [/ matemática] tienen un grado 2 y un coeficiente que es cero (el coeficiente de [matemática] X [/ matemática]) , sin embargo, uno de ellos no tiene raíces y el otro tiene dos.

Los polinomios [matemática] X ^ 2-2X + 2 [/ matemática], [matemática] X ^ 2-2X + 1 [/ matemática] y [matemática] X ^ 2-2X-1 [/ matemática] tienen cero, uno y dos raíces reales, respectivamente, y todas tienen un grado 2 y ningún coeficiente cero.

Entonces, ciertamente no puede encontrar la cantidad de raíces conociendo solo el grado y la cantidad de coeficientes distintos de cero.

Sin embargo, es posible establecer límites en el número de raíces reales de polinomios de alto grado con pocos coeficientes distintos de cero: un polinomio (sobre los reales) de cualquier grado que tenga coeficientes [cero matemáticos] [[matemáticos] no tiene más de [matemáticas] 2k-1 [/ matemáticas] raíces reales. Este es un ejercicio divertido (pista: use la inducción y la derivada, recordando que la derivada debe tener una raíz entre dos raíces reales de la original).

Por ejemplo, un trinomio [matemático] X ^ n + aX ^ m + b [/ matemático] puede tener como máximo 5 raíces reales, a pesar de que tiene [matemáticas] n [/ matemáticas] complejas.

Sobre los números complejos

Aquí la situación es aún peor: un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene exactamente raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] (contadas con multiplicidad), independientemente de cuántos coeficientes distintos de cero tenga.

Si desea vincular el número de coeficientes distintos de cero con multiplicidad, también se encuentra con problemas: los polinomios [matemática] z ^ n [/ matemática] y [matemática] (z-1) ^ n [/ matemática] ambos tienen un solo raíz de multiplicidad [matemática] n [/ matemática], sin embargo, uno de ellos tiene un solo coeficiente distinto de cero y el otro tiene [matemática] n [/ matemática] de ellos. No veo ninguna forma útil de conectar los dos.

Sobre campos finitos

Una vez más, no existe una relación directa entre el número de coeficientes distintos de cero y el número de raíces. Hay algunos resultados muy triviales sobre la reducibilidad de polinomios con muy pocos coeficientes distintos de cero sobre campos finitos, comenzando con un conocido teorema de Swan. Esos teoremas generalmente hablan sobre el número de factores irreducibles de un polinomio, que solo está débilmente relacionado con el número de raíces (cada raíz produce un factor irreducible, pero no al revés).