¿Cuál es la ecuación matemática de la forma de un pastelito?

Answer 1

Un poco de prefacio …

Llámame pedante, pero los objetos físicos no tienen ecuaciones. Las propiedades de los objetos tienen ecuaciones, pero no hay ecuaciones globales que describan un objeto físico (al menos actualmente, también, todas las ecuaciones actuales son modelos / aproximaciones). Ahora, un objeto matemático es diferente. Por ejemplo, la ecuación de un círculo, que es una forma y solo una forma, centrada en [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas] con radio [matemáticas] r [/ matemáticas] es

[matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk ^ 2) = r ^ 2 [/ matemáticas]

Por supuesto, esto también tiene propiedades como el área, pero aquí, a diferencia de la mayoría de las situaciones del mundo real, tenemos una ecuación para caracterizar a toda la entidad, porque es simplemente una forma. Sin embargo, no hay una “ecuación” para, por ejemplo, una pelota hinchable. Claro, puede modelarlo como una esfera y decir que una de sus propiedades tiene alguna ecuación, pero eso no describe completamente el objeto. Tomemos el caso del volumen y la forma de una pelota hinchable. Bueno, si suponemos, por el bien de la estimación, que la pelota es perfectamente esférica, es decir, la pelota es de dos esferas ([matemáticas] S ^ 2 [/ matemáticas]), entonces tenemos lo siguiente

[matemáticas] V_ {bola} = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 + (z-z_0) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

donde la bola tiene centro [matemática] (x_0 \,, y_0 \, z_0) [/ matemática] y radio [matemática] r [/ matemática] y donde [matemática] \ pi \ aprox 3.14159 [/ matemática].

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Ahora, eso es suficiente, supongo. Creo que su pregunta es pedir la forma de un pastelito, suponiendo un mundo ideal, eso es.

[Después de considerar las ediciones]

Si bien estoy de acuerdo en que un frustum es una estimación decente del objeto (habría hecho el sólido en lugar de la superficie, pero esa es su prerrogativa, supongo), creo que podemos hacerlo mejor y quizás más simple. Fuera de mi cabeza, no estoy seguro de cómo invertir el frustum; de hecho, cuando escribí esto por primera vez, casi afirmé que la forma era un tronco cónico invertido, pero me encontré con este problema.

Sin embargo, no voy a pensar mucho en eso porque creo que habrá una mejor solución usando poliedros. Observe el cupcake a continuación y observe que, librándolo de sus coberturas y glaseado por simplicidad, el exterior no es liso debido al envoltorio; sin embargo, esa forma es tan intrínseca a las magdalenas que parece, al menos para mí, una propiedad crucial de la “forma de magdalenas”. Por lo tanto, para dar cuenta de eso, simplemente podemos modelar esto como una forma cilíndrica con dos bases, una que es una [regular] [matemáticas] n [/ matemáticas] -gon (yo diría ~ 30) y la otra un círculo. Esto, para mí, es más preciso y probablemente más fácil que tratar de meterse con tramas extrañas como la que muestra.

Ahora, para volver al frustum, al menos intentaré ayudar con eso, incluso si siento que es un modelo pobre. Entonces, para un frustum, según WolframAlpha, la siguiente ecuación lo define

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 \ leq \ frac {(a (hz) + bz) ^ 2} {h ^ 2} [/ matemáticas]

con [math] 0 \ leq z \ leq h [/ math], donde [math] a [/ math] es el radio de la base inferior y [math] b [/ math] el de la parte superior. Entonces, para invertir la forma, uno simplemente debe cambiar estos valores.

Para un tronco (superficie) lo mismo es cierto, pero con las ecuaciones paramétricas

[matemáticas] x (u, v) = \ frac {\ cos (v) (a (hu) + bu)} {h} [/ matemáticas]
[matemáticas] y (u, v) = \ frac {\ sin (v) (a (hu) + bu)} {h} [/ matemáticas]
[matemáticas] z (u, v) = u [/ matemáticas]