¿Por qué no la aplica una función a ambos lados de una ecuación?

No estoy de acuerdo con la mayoría de las respuestas aquí, aunque supongo que no tiene sentido hacer que nuestras bragas se enreden en la semántica. Todo depende de lo que quieras decir con “cambiar la ecuación”.

Pero para aclarar mi punto, digamos que un ser de cinco dimensiones susurra a través de las paredes de un tesseract que lo hemos entendido todo mal y que en realidad [math] -E = mc ^ 2 [/ math]. Decide aplicar una función a ambos lados de la ecuación antes de transmitirla en código Morse a la Tierra. No hace falta decir que la civilización depende de que no “cambies la ecuación”.

Suponga que usa [math] x \ rightarrow x ^ 3 [/ math] y envía

[matemáticas] -E ^ 3 = m ^ 3c ^ 6 [/ matemáticas]

Ahora eso será cierto si y solo si

[matemáticas] -E = mc ^ 2 [/ matemáticas]

así que no hay daño hecho. Por otro lado si envías de vuelta

[matemáticas] E ^ 2 = M ^ 2 c ^ 4 [/ matemáticas]

junto con una nota “chicos, golpeé ambos lados con una función, pero aprendí en Quora que no cambia la ecuación, así que no se preocupe”, entonces su mensaje podría no tener el efecto deseado.

Moraleja de la historia: cambiar ambos lados de una ecuación de la misma manera puede cambiar materialmente la ecuación, no solo superficialmente. La distinción entre “si” y “si y solo si” es bastante importante.

Entonces para responder a su pregunta:

i) El “significado” (si identifica el significado con “conjunto de implicaciones”, incluido el “conjunto de soluciones”) de una ecuación no cambia solo si la función es una inyección .
ii) Sí, por supuesto, puedes probarlo. ¿Qué crees que es esto, clase de gimnasia?
iii) Leer sobre la función inyectiva

Aquí hay algo como una prueba. Tome el ejemplo [math] f (x) = 6 [/ math] donde [math] f [/ math] es una función. Suponga que [math] g [/ math] es una inyección y, por lo tanto, tiene un inverso. Ahora modifique nuestra ecuación aplicando [math] g [/ math] a ambos lados, de modo que lea [math] g \ circ f (x) = g (6) [/ math] que a la izquierda dice “aplica f luego g a x “. El lado derecho es solo un número. Suponga que [math] y [/ math] es una solución, lo que significa [math] g (f (y)) = g (6) [/ math]. Podemos aplicar el inverso de [math] g [/ math] para concluir que [math] f (y) = 6 [/ math]. Esto muestra que una solución de nuestra ecuación transformada es también una solución de nuestra ecuación original.

Por definición, una función siempre le dará la misma salida si le da la misma entrada. Entonces, si tiene dos cosas que sabe que son iguales (incluso si no lo parecen, tal vez), la aplicación de una función a ambos lados preservará la igualdad.

Cambia la ecuación real. Sin embargo, no cambia la igualdad de las declaraciones en cada lado del signo igual.

Considere esta ecuación:

[matemáticas] x-1 = 1 [/ matemáticas]

Esto, por supuesto, tiene una solución de [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Considere multiplicar ambos lados por [matemáticas] (x-1) [/ matemáticas]:

[matemáticas] (x-1) (x-1) = 1 (x-1) [/ matemáticas]

Debido a que [matemática] x-1 = 1 [/ matemática], [matemática] x-1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] son ​​literalmente el mismo número. Hacer lo mismo a ambos lados de la ecuación conserva la igualdad de la misma manera que [matemáticas] 5 * 5 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] (2 + 3) * 5 [/ matemáticas]; cada lado de la ecuación es solo una forma diferente de escribir la misma cantidad. Sin embargo, veamos nuestra nueva ecuación, todo multiplicado:

[matemáticas] x ^ 2-2x + 1 = x-1 [/ matemáticas]
Esto todavía tiene la solución [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. Sin embargo, también tiene la solución [matemática] x = 1 [/ matemática], que la ecuación original no tenía.

Este es un ejemplo construido trivialmente, pero ilustra una preocupación válida: si bien la aplicación de una función a ambos lados de una ecuación conserva la igualdad de ambos lados de esa ecuación, no siempre conserva la misma información (como soluciones únicas) que el ecuación original tenía; se puede introducir nueva información o se puede perder información.

Supongo que quiere decir: “¿Por qué si una ecuación es verdadera, aplicar una función a ambos lados da como resultado una ecuación que también es verdadera?”

Esto se debe básicamente a lo que es una “función”: cada entrada tiene solo una salida correspondiente. Una ecuación es básicamente una forma de afirmar que dos expresiones están describiendo el mismo número (o lo mismo, sea lo que sea), y si aplicar una función a ese número podría haber resultado en más de una salida, entonces no es un “bien -definido “función. (Existen “funciones de valores múltiples”, pero si aplicamos dicha función a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante de repente se vuelve ambigua. Sé que ese no es el tipo de situación por la que preguntas).

Puedes pensarlo de esta manera. Digamos que [math] E_1 [/ math] y [math] E_2 [/ math] son ​​expresiones que representan cada una un número. (Como, tal vez [matemáticas] E_1 [/ matemáticas] es “[matemáticas] 3x – 4 [/ matemáticas]” y [matemáticas] E_2 [/ matemáticas] es “[matemáticas] 5 [/ matemáticas]”, por ejemplo). Digamos que [math] f [/ math] es alguna función y para cada expresión [math] E [/ math], [math] f (E) [/ math] es la expresión que representa cualquier salida que obtengamos si aplicamos [ math] f [/ math] al número [math] E [/ math] representa. Como [math] f [/ math] es una función, solo hay un número que [math] f (E_1) [/ math] representa, y esto está determinado por el número que [math] E_1 [/ math] represente. De manera similar, el número representado por [math] E_2 [/ math] determina exactamente un número que representa [math] f (E_2) [/ math]. Si [matemática] E_1 [/ matemática] y [matemática] E_2 [/ matemática] representan el mismo número (es decir, “[matemática] E_1 = E_2 [/ matemática]”) entonces [matemática] f (E_1) [/ matemática] y [matemáticas] f (E_2) [/ matemáticas] debe representar el mismo número.

Si desea leer más sobre la noción formal de una función, el artículo de Wikipedia es un buen lugar para comenzar. Si desea obtener más información, tomar un curso de matemática discreta podría ayudar (o al menos tener en sus manos un libro de texto, pero creo que tener un profesor con conocimientos sería de gran ayuda).

Aplicar una función a ambos lados de una ecuación la cambia. Sin embargo, cambia ambos lados de la misma manera. Entonces, por ejemplo, suponga que su ecuación es

[matemáticas] 2 + 3 = 5 [/ matemáticas]

y aplicas la función takeawaythree () a ambos lados. Eso cambiará la ecuación a

[math] takeawaythree (2 + 3) = takeawaythree (5) [/ math]

o en otras palabras a

[matemáticas] 2 = 2 [/ matemáticas]

Esta ecuación sigue siendo cierta, pero es una ecuación diferente de la original.

Ahora supongamos que en lugar de

[matemáticas] 2 + 3 = 5 [/ matemáticas]

la ecuación original era

[matemáticas] y + 3 = 5 [/ matemáticas]

y te pidieron que averiguaras qué es. Aplicar takeawaythree () a ambos lados da

[math] takeawaythree (y + 3) = takeawaythree (5) [/ math]

o en otras palabras

[matemáticas] y = 2 [/ matemáticas]

que es una ecuación diferente pero que contiene la respuesta. Sabemos que es una respuesta verdadera porque sabemos que la ecuación original era verdadera y sabemos que cuando hacemos lo mismo a ambos lados de una ecuación verdadera, la ecuación resultante también es verdadera.

Sin embargo, debemos tener cuidado de hacer solo cosas sensatas. Es posible hacer cosas que no tienen sentido, como dividir por cero o tomar el logaritmo de cero. Si hacemos esto accidentalmente, y eso es una posibilidad, la ecuación resultante tampoco tendrá sentido.

Si entendí bien la pregunta, entonces sí, la ecuación cambia a veces.

Tomemos un ejemplo contrario.
x = -2
aplicar la función de cuadratura en ambos lados me da
x ^ 2 = 4
de hecho x ^ 2 = 4 no es la misma ecuación x = -2
entonces, aplicar una función de cuadratura a ambos lados de una ecuación la cambia.

mientras que si tomas raíz cuadrada, obtienes la misma ecuación.
x = -2 -> √x = √-2, ambas son las mismas ecuaciones.
así que aplicar una función de raíz cuadrada a ambos lados de una ecuación no la cambió.

hay muchos otros ejemplos como la aplicación de funciones lineales y muchos más
x = 2, 2x = 4