No estoy de acuerdo con la mayoría de las respuestas aquí, aunque supongo que no tiene sentido hacer que nuestras bragas se enreden en la semántica. Todo depende de lo que quieras decir con “cambiar la ecuación”.
Pero para aclarar mi punto, digamos que un ser de cinco dimensiones susurra a través de las paredes de un tesseract que lo hemos entendido todo mal y que en realidad [math] -E = mc ^ 2 [/ math]. Decide aplicar una función a ambos lados de la ecuación antes de transmitirla en código Morse a la Tierra. No hace falta decir que la civilización depende de que no “cambies la ecuación”.
Suponga que usa [math] x \ rightarrow x ^ 3 [/ math] y envía
[matemáticas] -E ^ 3 = m ^ 3c ^ 6 [/ matemáticas]
- Cómo resolver esta ecuación: [matemáticas] 101F + 20E-99D + 200I + 9H-9G = 0 [/ matemáticas] si todas las variables pueden ser enteros en el intervalo [matemáticas] [1, 9] [/ matemáticas]
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Ahora eso será cierto si y solo si
[matemáticas] -E = mc ^ 2 [/ matemáticas]
así que no hay daño hecho. Por otro lado si envías de vuelta
[matemáticas] E ^ 2 = M ^ 2 c ^ 4 [/ matemáticas]
junto con una nota “chicos, golpeé ambos lados con una función, pero aprendí en Quora que no cambia la ecuación, así que no se preocupe”, entonces su mensaje podría no tener el efecto deseado.
Moraleja de la historia: cambiar ambos lados de una ecuación de la misma manera puede cambiar materialmente la ecuación, no solo superficialmente. La distinción entre “si” y “si y solo si” es bastante importante.
Entonces para responder a su pregunta:
i) El “significado” (si identifica el significado con “conjunto de implicaciones”, incluido el “conjunto de soluciones”) de una ecuación no cambia solo si la función es una inyección .
ii) Sí, por supuesto, puedes probarlo. ¿Qué crees que es esto, clase de gimnasia?
iii) Leer sobre la función inyectiva
Aquí hay algo como una prueba. Tome el ejemplo [math] f (x) = 6 [/ math] donde [math] f [/ math] es una función. Suponga que [math] g [/ math] es una inyección y, por lo tanto, tiene un inverso. Ahora modifique nuestra ecuación aplicando [math] g [/ math] a ambos lados, de modo que lea [math] g \ circ f (x) = g (6) [/ math] que a la izquierda dice “aplica f luego g a x “. El lado derecho es solo un número. Suponga que [math] y [/ math] es una solución, lo que significa [math] g (f (y)) = g (6) [/ math]. Podemos aplicar el inverso de [math] g [/ math] para concluir que [math] f (y) = 6 [/ math]. Esto muestra que una solución de nuestra ecuación transformada es también una solución de nuestra ecuación original.