Supongo que estamos hablando de funciones y ecuaciones de variables, no de números.
Una función es una expresión matemática que involucra una o más variables, por ejemplo,
sen x + 3x – x ^ 2.
Las ecuaciones vienen en varios tipos.
Primero, está la ecuación de identidad o definición , identificando o definiendo
– una variable:
a = 5 * 3 – 6, o
– una expresión como una función:
f (x) = x ^ 2 – x + 7
Pero supongo que estamos pensando en ecuaciones de valor , donde se busca que el lado izquierdo y el derecho alcancen los mismos valores. En el caso de las funciones esto nos da
– ecuaciones de imagen : y = f (x), z = F (x, y), …
Estamos construyendo una imagen de la función de x en el dominio de y, o como un todo, una variedad en el espacio (x, y).
– ecuaciones de solución : f (x) = 0, F (x, y) = 0, …
Estamos buscando soluciones, es decir, valores variables para los cuales la función devuelve un cierto valor (0 en nuestros ejemplos, cualquier otro valor puede ser absorbido en la definición de la función).
Ya he descrito funciones en términos de múltiples . Desarrollemos un poco más a lo largo de esta pista. En general, una función representa una variedad (algo así como una curva, superficie, …) en un espacio cuyas dimensiones corresponden al número de variables en la definición de la imagen.
Entonces, y = f (x) sería una curva en el espacio (x, y); z = F (x, y) una superficie en (x, y, z) espacio, y así sucesivamente.
Una ecuación indicaría algo así como f (x) = 0, o tal vez, f (x) = g (x) (0 puede considerarse como la función nula g (x) = 0). La ecuación puede entonces verse como la intersección de dos colectores y = f (x) e y = g (x), tomando los mismos valores allí. Esta intersección sería en sí misma una variedad de dimensión inferior : un punto de cruce de dos curvas, una curva de intersección de dos superficies, … (o nada, si no existe una intersección).
En particular, la ecuación f (x) = 0 representa la intersección de una función y = f (x) con el eje x (cuya ecuación es y = 0), este es el conjunto de soluciones de la ecuación de valor f (x ) = 0.
¡La ecuación / función de confusión surge del posible entrelazamiento entre ambas nociones, dependiendo del punto de vista tomado! Como dije, una ecuación entre dos funciones es como una intersección de dos variedades. Pero como dije también, una intersección es en sí misma como una variedad, es decir, una función. Entonces, ¿una misma cosa podría ser la imagen de una ecuación y una función, una variedad y una intersección?
Bueno, sí puede:
Sea y = f (x) una imagen de función.
Pero también es una ecuación de la forma.
F (x, y) = 0,
si definimos una nueva función F (x, y) = y – f (x)
Las funciones más implícitas F (x, y) (donde los términos xey no se pueden separar) obedecen la ecuación F = 0 y también representan curvas en el plano (x, y). (Mientras que las funciones y (x) permiten solo un valor de y para cada valor de x, la ecuación implícita F (x, y) = 0 permite curvas donde cada valor de x puede corresponder con varios valores de y, o puntos en La curva.)
Ahora, como se dijo anteriormente, la ecuación F = 0 representa una variedad en el plano (x, y), que a su vez es la intersección de dos variedades o superficies, en el espacio (x, y, z):
– de z = F (x, y), y
– del plano (x, y) cuya imagen de función es z = 0.
Entonces, la función y = f (x) nos ha llevado a la ecuación F (x, y) = 0, que a su vez nos ha llevado a una nueva función z = F (x, y).
¿Sacar la idea de hacia dónde nos dirigimos (o dolor de cabeza :-)?
Función 2D> ecuación 2D> función 3D> (…)
Las funciones y ecuaciones son contrapartes que se están arrastrando entre sí hacia nuevas dimensiones 😉