Cómo saber cuándo dos ecuaciones son equivalentes

Pregúntese si puede hacer algunos reordenamientos algebraicos para llevarlos a la misma forma.

Lo primero que puede multiplicar por [matemáticas] 1 + \ tan ^ 2 \ alpha = \ sec ^ 2 \ alpha = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ alpha} [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] \ tan ^ 2 \ alpha = \ tan ^ 2 \ alpha [/ math], una tautología (lo que significa que la ecuación es una identidad).

El segundo puede multiplicar por [math] \ sin ^ 2 \ alpha [/ math] para obtener la misma identidad.

Incluso si no se trata de una identidad, la capacidad de realizar operaciones algebraicas no triviales * que mantienen la igualdad para que una ecuación tome la forma de la otra (o que ambas se manipulen en la misma forma intermedia) significa que las ecuaciones son equivalente.

* Siempre puedes multiplicar ambos lados de una ecuación por [matemáticas] 0 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 0 = 0 [/ matemáticas], ¡pero espero que puedas ver lo inútil que es!

En primer lugar, tenga en cuenta que estas no son ecuaciones, sino identidades. Una ecuación es verdadera solo para valores particulares (de alfa, en este caso). Una identidad es una declaración que es verdadera para todos los valores de alfa en los que se definen los dos lados.

El RHS de la primera identidad se define para todos los alfa, al igual que el LHS. Entonces, la primera identidad se define para todos los alfa.

La segunda identidad, por otro lado, se define solo para todos los alfa ≠ kπ.

Entonces, si estás siendo muy pedante, la afirmación correcta es que las dos identidades anteriores son equivalentes para todos los alfa ≠ kπ, donde k es un número entero.

Sin embargo, generalmente las personas toman casos tan especiales como “obvios” y no se molestan en escribirlos explícitamente de esta manera.

Estrictamente hablando, no son equivalentes, ya que, como notará, uno de ellos no tiene sentido cuando [math] \ sin (\ alpha) = 0 [/ math], y el otro tiene sentido siempre.

Hay otro sentido en el que “equivalente” es una mala palabra para describir estas ecuaciones. ¿Diría que [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas] es equivalente a [matemáticas] \ cos ^ 2 (\ alpha) + \ sin ^ 2 (\ alpha) = 1 [/ matemáticas]? Ambas son siempre ciertas y, por lo tanto, tienen el mismo conjunto de soluciones. ¡Pero no tienen nada que ver el uno con el otro!

Ambas ecuaciones son identidades trigonométricas, que son verdaderas para TODOS los valores de [math] \ alpha [/ math], excepto aquellos en los que las funciones trigonométricas no están definidas o donde se divide por cero. Por lo tanto, su equivalencia es diferente del sentido en el que [matemática] 2x + 5 = 7 [/ matemática] es equivalente a [matemática] x + 2 = 3 [/ matemática].

Una noción importante que tienes que hacer es que son equivalentes, no idénticos .

Suponga que la función [matemáticas] f (x) = \ frac {x} {x} [/ matemáticas]
Existe en todas partes, excepto en cero, porque obviamente no se puede dividir por cero.

Ahora, lo que hacemos es crear otra función, [math] g [/ math], que es
* continuo,
* igual a f en el dominio de f.
Llamamos a esta función la extensión continua de f, o f *.

Solo hay un valor de g en cero que hace que la función sea continua, es decir, 1.
Entonces [matemáticas] g = f * = 1 [/ matemáticas]

Ahora tenemos dos funciones, ambas continuas en sus dominios e iguales en las intersecciones de su dominio (y la unión de un dominio con el complemento del otro tiene una medida cero, pero eso no es tan importante)
Llamamos a esas funciones equivalentes .

Y realmente, eso es lo que son. A nadie le importan los puntos inexistentes que se pueden calcular utilizando extensiones continuas.

Entonces, sí, todas esas funciones trigonométricas son equivalentes. No idéntico, sino equivalente.

Otros han mencionado problemas con el denominador cero. Si evitamos los puntos problemáticos, tenga en cuenta que

[matemáticas] \ begin {align}
\ sin ^ 2 \ alpha (1+ \ tan ^ 2 \ alpha) & = & \ tan ^ 2 \ alpha \\
\ sin ^ 2 \ alpha \ left (1+ \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {\ cos ^ 2 \ alpha} \ right) & = & \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {\ cos ^ 2 \alfa}
\ end {align} [/ math]

Multiplique por [matemáticas] \ cos ^ 2 \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas]
\ sin ^ 2 \ alpha (\ cos ^ 2 \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha) = \ sin ^ 2 \ alpha
[/matemáticas]

Como [math] \ cos ^ 2 \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha = 1 [/ math] esto se cumple claramente para todos [math] \ alpha [/ math].

En primer lugar, recuerde el mandamiento cero: NO DEBERÁ DIVIDIR POR CERO.

La ecuación A = B / C solo tiene sentido si C no es cero.

Multiplicar ambos lados por el número distinto de cero C resulta en AC = B.

SI uno sabe que A no es cero, entonces uno puede dividir ambos lados por A para obtener
C = B / A.

A2A.

Dos ecuaciones son equivalentes si puedes pasar de una a la otra y viceversa. Más precisamente, quieres probar lo siguiente:

Teorema: la ecuación 1 es verdadera si y solo la ecuación 2 es verdadera.

Hay dos partes de la prueba.
Reclamación 1: Si la ecuación 1 es verdadera, entonces la ecuación 2 es verdadera. (Necesario)
Reclamación 2: Si la ecuación 2 es verdadera, entonces la ecuación 1 es verdadera. (Suficiente)

Las dos ecuaciones no son equivalentes. Como notó, no tienen el mismo conjunto de soluciones.

También tiene razón en que multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por un valor distinto de cero la transforma en una ecuación equivalente. Sin embargo, el problema es que [math] \ sin ^ 2 \ alpha [/ math] puede ser cero, por lo que multiplicarlo o dividirlo no tiene que conducir a una ecuación equivalente. De hecho, los valores donde [math] \ sin ^ 2 \ alpha [/ math] es cero tienen la forma [math] \ alpha = k \ pi [/ math], que es exactamente la discrepancia que notó.