¿Se puede visualizar cada ecuación matemática?

Answer 1

Me gustaría ampliar la respuesta de Peter Flom y llegar a decir que incluso en una dimensión no se pueden visualizar todas las ecuaciones matemáticas. Algunos de ellos pueden volverse bastante patológicos. Puede intentar visualizarlos, pero en algún momento no puede hacer los puntos lo suficientemente finos para obtener una imagen precisa.

Por ejemplo, sin (sec (x)).
¿Ves dónde se pone borroso? Eso es porque comienza a cruzar el eje muchas veces. En realidad, cruza el eje un número infinito de veces a medida que la función se acerca a π / 2, 3π / 2, etc.

No puede visualizar eso, no importa cuánto se acerque. Se mantiene totalmente borroso.

Hay muchas funciones patológicas que hacen todo tipo de locuras que en algunos lugares simplemente no se pueden visualizar.

Actualización: Encontramos un montón de buenos:
Funciones patológicas
La función Blancmange:
Es continuo en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte . Si amplía los subconjuntos más pequeños, son repeticiones completas de la función más grande. Puede obtener una imagen de “esto está cerca”, pero no una imagen de “Puedo dibujar esto exactamente”.

Luego está la función Dirichlet, que es continua en ninguna parte. No se puede visualizar en absoluto, pero para cualquier punto dado puede asignarle un valor.
Si junta algunos de los valores, se ve así:
Yikes

Por lo tanto, puede visualizar este tipo de funciones, pero no totalmente.

Answer 2

Lamentablemente, la pregunta no propone qué significa la palabra “visualización”. Lo que hace que esta pregunta sea difícil de responder. Como persona matemáticamente inclinada, propongo definir una “visualización” como una concatenación de símbolos de un alfabeto finito (que puede escribir en una hoja de papel, por ejemplo). Por lo tanto, el conjunto de “visualizaciones” es como máximo contable.

Con esta definición, podemos responder a la pregunta proponiendo una biyección entre el conjunto de ecuaciones al conjunto de “visualizaciones”. Si existe una biyección, declaramos la victoria y que cada ecuación es visualizable, si no, entonces no todas las ecuaciones son visibles en ese sentido preciso.

Observe que una visualización es un conjunto contable.

Ahora observe que uno puede escribir cualquier ecuación en la siguiente forma [math] a = a [/ math], donde a es cualquier cosa, en particular sea a [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math]. Si este es el caso, entonces claramente el conjunto de ecuaciones es incontable.

Por lo tanto, dado que estamos tratando de llegar a una biyección de un conjunto contable a un conjunto incontable, entonces no existe tal biyección. Por lo tanto, me inclino a concluir que no todas las ecuaciones son visualizables.

Supongo que si cambiamos su pregunta a ecuaciones “no triviales” para evitar el truco [matemática] a = a [/ matemática] st [matemática] a \ in \ mathbb {R} [/ matemática] la respuesta cambia. Si cambiamos a eso entonces, no estoy al 100%, pero me inclinaría a adivinar que ahora las cosas son visualizables, porque las ecuaciones son solo una concatenación de símbolos de un alfabeto finito.

—-

Después de pensarlo un poco más, creo que tal vez esa no sea la mejor definición de visualización porque no captura exactamente cómo dibujamos las cosas en un gráfico. Lo pensaré un poco más mañana e intentaré encontrar una nueva definición y ver si podemos solucionar la respuesta actual más. Trataré de pensar en una definición precisa diferente, una que tenga una biyección de mi llamada “visualización” y al menos cada cosa posible que podamos dibujar en papel o algo y luego ver si eso funciona, porque necesitamos tomar en cuenta el hecho de que podemos tener cualquier símbolo que queramos dibujando una línea infinitesimal más larga, por ejemplo. Mi presentimiento es que esto conducirá a una nueva definición más significativa de un conjunto incontable a un conjunto incontable y así satisfacer que las cosas son de hecho visibles. ¡Si son visualizaciones “buenas” / “intuitivas” es una pregunta totalmente diferente! : p (Supongo que en realidad no, el objetivo de la visualización es hacerlo intuitivo, ¿verdad? ¡Quizás necesito revisar esta nueva definición! jajaja, espero que no se repita infinitamente).

Answer 3

Depende de lo que quieras decir con la visualización. Puedes ver algunas visualizaciones en Jacob VanWagoner responde . Aunque cometió un pequeño error y confundió la función con la ecuación. Una función es una asociación de un objeto de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado contradominio), escrito generalmente como [math] f: A \ rightarrow B [/ math] donde [math] A [/ math] es el dominio y [matemáticas] B [/ matemáticas] es el contradominio. Una ecuación es un subconjunto de la función (ver funciones como conjuntos de asociaciones [matemática] (a \ en A, b \ en B) [/ matemática] de modo que tenga una [matemática] b [/ matemática] fija, por ejemplo : [matemática] x ^ 2 = 0 [/ matemática] en este caso, uno quiere encontrar todos los pares [matemática] (x, 0) [/ matemática], en este caso, solo tiene [matemática] \ {(0 , 0) \} [/ matemáticas].

Como dije al principio, depende de lo que quieras decir con la visualización, Peter Flom respondió con claridad: hay ecuaciones que no se pueden visualizar de la manera más natural, el problema con esa afirmación es que siempre se puede hacer una forma alternativa de representarla, por ejemplo, el tipo de ecuaciones que él suponía que eran imposible de visualizar, son ecuaciones que son subconjuntos de una función [matemáticas] (a_1, a_2, \ cdots, a_n) \ a (b) [/ matemáticas], como él dijo, no hay forma natural de ver esto en de forma natural, pero puede proceder de la siguiente manera:

• Tome la función que desee, por ejemplo, tome [math] f (a_1, a_2, \ dots, a_n) [/ math].
• Tome todos los subconjuntos que satisfagan [matemática] f (a_1, a_2, \ dots, a_n) = b [/ matemática].
• Extraiga [math] (a_1) _m [/ math] de todos ellos, ahora tiene un conjunto [math] \ mathbb {A} _1 [/ math] con todos los primeros elementos de todos los subconjuntos de [math] f (a_1, a_2, \ dots, a_n) = b [/ math]
• Haga una nueva función [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {A} _1 [/ math] que asocie cada número real con un elemento de [math] \ mathbb {A} _1 [/ math].
• Trazar esta función.
• Repita el proceso para todos [math] \ mathbb {A} _n [/ math].

Obviamente, al usar este proceso, podría perder algunas propiedades; en este caso, perdería el orden: ¿Qué subconjunto [matemáticas] (a_1, a_2, \ cdots, a_n) [/ matemáticas] es el primero? ¿Cuál es el segundo? De todos estos subconjuntos, ¿cuál debo extraer [math] a_1 [/ math] primero? Pero es posible crear algún tipo de orden y realizarlo de forma natural. Ahora tienes una manera de visualizarlo. El problema es: las visualizaciones generalmente se hacen para ayudarnos a comprender algunos fenómenos matemáticos, hay visualizaciones que podrían ser completamente inútiles. Vea, por ejemplo, el sistema de coordenadas Polar, es una forma diferente de visualizar que nos ayuda a estudiar una cosa u otra.

Tome el siguiente ejemplo, la ecuación de 4 variables que tiene valores que suman 10:

[matemáticas] \ begin {array} {cccc}
2 y 2 y 2 y 4 \\
1 y 1 y 1 y 7 \\
3 y 3 y 3 y 1 \\
5 y 0 y 0 y 5 \\
\ end {array} [/ math]

Se puede mostrar como:

Answer 4

Yo argumentaría en contra del flujo aquí y diría que sí, cualquier función se puede visualizar.

Jacob dice que no y produce ejemplos, pero luego produce algunas visualizaciones bastante iluminador de estos mismos ejemplos 🙂 ¿Son perfectos? No, pero entonces no hay visualización. Ni siquiera se puede visualizar perfectamente algo tan simple como y = x, porque nuestra capacidad visual y nuestra capacidad cerebral están limitadas a una aproximación discreta, por lo que estamos restringidos tanto en rango como en resolución.

Sin embargo, todo se puede visualizar de alguna manera, incluso conceptos tan abstractos como el amor, el caos o el infinito.

Las funciones multidimensionales de Peter se pueden visualizar mediante proyección en un plano. Y múltiples proyecciones en varios planos pueden proporcionar una vista compuesta.

La función Conway, como mencionó Justin, podría representarse simplemente como un muro de tinta, que es exactamente lo que sería si aplicara la práctica habitual de representar cada punto con un punto de tinta. No es particularmente útil, se podría decir, pero una visualización no obstante. Y con un poco de pensamiento y escala imaginativa, uno podría llegar a algo más ilustrativo.

veamos si esto revuelve un poco la olla 🙂

Answer 5

Agregando a la respuesta de Jacob VanWagoner:

Considere la función:
x = 1 para cada número racional
x = -1 por cada número irracional

¡Las funciones de este tipo son imposibles de visualizar con precisión, porque no son continuas en ningún momento! ¡Y esta es una simple función 1-D!

Answer 6

Respuesta corta: Para nosotros, no.

Respuesta larga: los humanos, como vivimos en un mundo tridimensional, solo vemos en tres dimensiones. (Se podría debatir que en realidad vemos en un mundo bidimensional, pero a los efectos de esta explicación se ignorará). Como tal, una ecuación como las ecuaciones de Maxwell en arxiv.org están en cuatro dimensiones. Por lo tanto, no podemos comprender realmente cómo es una representación visual de estas ecuaciones. podemos visualizarlos de una manera pseudo-4-dimensional pero realmente sigue siendo una representación tridimensional, y por lo tanto no es lo suficientemente precisa como para ser considerada una representación visual. Sin embargo, si podemos imaginar un ser que vive en un mundo de ocho dimensiones, podría visualizar fácilmente las ecuaciones de Maxwell.

Answer 7

No. Los humanos pueden visualizar 3 o, como máximo, 4 dimensiones. Es bastante fácil escribir una ecuación matemática que tenga 10 o 20 o más. Sucede todo el tiempo en estadísticas, incluso el caso relativamente simple de regresión múltiple:

[matemáticas] Y = b_0 + b_1X_1 + b_2X_2 + b_3x_3 + b_4x_4 + b_5x_5 [/ matemáticas]

Representa una línea recta en un espacio de 5 dimensiones. ¿Puedes imaginarte eso? No puedo Y puede agregar tantas X como lo permitan sus datos.

Aquí hay una función realmente extraña que mencioné en otra respuesta:

Deje Y = 1 cuando X es racional
Deje Y = 0 cuando X es irracional

La visualización aparecerá como dos líneas rectas, pero cada una es en realidad un número infinito de puntos.

Answer 8

Para ti, absolutamente. La mente humana es una cosa maravillosa. Si comprende la ecuación, su mente puede visualizarla.

Para mostrárselo a otros, no. Para empezar, ¿cómo se muestra el infinito visualmente a los demás?

Answer 9

La función base 13 de Conway toma cada valor real en cada intervalo. No es posible visualizar de ninguna manera significativa.