¿Cómo se puede demostrar que la ecuación [matemáticas] x ^ 4 + 7x ^ 2 = 4x ^ 3 + 6x + 4 [/ matemáticas] se puede escribir en la forma [matemáticas] f (x + k) [/ matemáticas] donde [ math] k [/ math] es una constante a determinar, y luego encuentra la solución exacta a la primera ecuación sin el teorema binomial o una calculadora?

Answer 1

OK, con el teorema binomial puedes ver al menos de inmediato qué es [matemática] k [/ matemática] antes de hacer el trabajo inútil que se te propone.

[matemáticas] x ^ 4 -4x ^ 3 + 7x ^ 2 -6x-4 = (x ^ 4 -4x ^ 3 + 6x ^ 2 -4x + 1) + (x ^ 2 -2x +1) -6 = ( x-1) ^ 4 + (x-1) ^ 2 -6 = \ bigl ((x-1) ^ 2 +3 \ bigr) \ bigl ((x-1) ^ 2 -2 \ bigr). [/ matemáticas]

Pero, de hecho, este problema es muy artificial, en general no hay forma de deshacerse del coeficiente en [matemática] x ^ 3 [/ matemática] en [matemática] x [/ matemática] simultáneamente con una sustitución tan lineal.

Pero si lo entiendo bien, si no se le permite usar el teorema binomial, entonces no hay forma de encontrar [matemática] k [/ matemática] mediante la sustitución [matemática] x \ a x + k [/ matemática]. Por lo tanto, no puede expandirse, pero puede dibujar el gráfico. Entonces dibuje el gráfico y verá que existe la simetría con respecto a la línea vertical [matemática] x = 1 [/ matemática].

Answer 2

Parece que quien te dio este problema quiere que hagas un trabajo duro y solo lo expandas. Realice la sustitución [matemática] x \ rightarrow x – k [/ matemática] e intente eliminar los términos [matemática] x ^ 3 [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] mediante una elección inteligente de [matemática] k [/matemáticas].

Sugerencia: si lo cuadras, obtienes 1.