¿Cómo se derivan y descubren las ecuaciones?

Considere los problemas de la historia que se le han dado para resolver en sus clases de matemáticas y ciencias. Tiene un conjunto de circunstancias, tiene algunos datos numéricos y tiene alguna información que le gustaría obtener. Examina los datos con los que tiene que trabajar y determina la relación numérica lógica entre eso y la información que necesita. Escribes eso como una ecuación y resuelves el problema. Si es un problema que debe resolverse con bastante frecuencia, de modo que los números cambien de un caso a otro, pero la relación matemática sigue siendo la misma, escriba la ecuación en forma general con símbolos en lugar de los datos variables. ¡Bingo! Has derivado una fórmula.

En lo que respecta al descubrimiento, la relación matemática no está del todo clara. En tales casos, es posible que deba recopilar muchos más datos, incluidos los resultados eventuales, y examinarlos en busca de correlaciones estadísticas, o reevaluar las relaciones. Puede resultar que algunos de los datos son irrelevantes. Puede resultar que haya otros datos relevantes que desconoce. Puede resultar que la relación involucró una operación matemática que no había considerado. Es un acertijo, y sigues probando diferentes enfoques hasta que encuentras el que funciona. Como puede suponer, cuanto más comprenda sobre las matemáticas, las estadísticas y la forma en que funcionan las cosas, es más probable que tenga éxito.

Esta pregunta me parece muy vaga. Puedo inventar cualquier ecuación que me guste, simplemente escribiendo algunas variables, algunas operaciones y una relación de igualdad como parte de ella. Tal ecuación es, como han señalado otros, completamente inventada, y por casualidad es poco probable que signifique mucho.

Si quiere decir algo más parecido a las ecuaciones de la física, todo se reduce a un ciclo de observar-hipótesis-prueba-refinar para descubrir relaciones entre cantidades físicas. Incluso en este caso, las ecuaciones se inventan, pero las relaciones entre cantidades físicas, se podría decir, se descubren.

La gente refina muchas ecuaciones en una.

Por ejemplo, la ecuación de Rydberg destila las diferentes series de líneas de hidrógeno (todas con sus propias ecuaciones) en una.

La ley universal de gases PV = NRT destila una serie de leyes de gases, como la ley de Boyle.

La relatividad de Einstein combina leyes como la Contracción Fitzgerald en una sola teoría.

Incluso Heaviside y Hertz trabajaron duro para reducir las 20 ecuaciones de Maxwell a las cuatro que conocemos hoy.

Hay muchas maneras.
Algunas ecuaciones describen leyes físicas (por ejemplo, F = m * a). En esos casos, las ecuaciones simplemente expresan una relación de observaciones hechas a través de la experimentación.

Otras ecuaciones describen relaciones que pueden probarse en base a axiomas establecidos o pruebas previas (resultados conocidos).
Por ejemplo, si sabe que el área del rectángulo A = alto * ancho, se puede demostrar que el área de un triángulo es alto * ancho / 2.

No pueden ser ‘descubiertos’, son ‘inventados’ por científicos y matemáticos trabajando con las ecuaciones ya existentes, tratando de simplificarlas y aumentar su alcance de uso en un tema en particular.