1)
Nos ocuparemos de cada integral por separado. Primero:
Deje [math] I = \ int_0 ^ ax ^ 4 \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} dx [/ math]
Deje [math] x = a \ sin (u), dx = a \ cos (u) du [/ math]
[matemáticas] I = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} a ^ 6 \ sin ^ 4 (u) \ cos ^ 2 (u) du [/ matemáticas]
[matemáticas] I = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} a ^ 6 \ sin ^ 4 (u) (1- \ sin ^ 2 (u)) du [/ matemáticas]
[matemáticas] I = a ^ 6 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 4 (u) – \ sin ^ 6 (u) du [/ matemáticas]
Utilizaremos la siguiente fórmula de reducción de orden (derivada fácilmente por integración por partes):
[matemáticas] I = \ int \ sin ^ m (u) = – \ frac {\ cos (u) \ sin ^ {m-1} (u)} {m} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ frac { m-1} {m} \ int \ sin ^ {m-2} (u) du [/ math]
Al aplicarlo para m = 6, obtenemos:
[matemáticas] I = a ^ 6 \ frac {\ cos (u) \ sin ^ 5 (u)} {6} [/ matemáticas] (evaluado de 0 a [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]) [matemáticas] + \ frac {a ^ 6} {6} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 4 (u) du [/ matemáticas]
La primera parte se evalúa a 0, entonces
[matemáticas] I = \ frac {a ^ 6} {6} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 4 (u) du [/ matemáticas]
Aplique la fórmula de reducción de orden nuevamente. Una vez más, la primera parte se evalúa a 0.
[matemáticas] I = \ frac {a ^ 6} {8} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2 (u) du [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 (u) = \ frac {1- \ cos (2u)} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} cos (2u ) du = 0 [/ math], entonces
[matemáticas] I = \ frac {a ^ 6} {8} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {1} {2} du [/ matemáticas]
Finalmente,
[matemáticas] I = \ frac {a ^ 6 \ pi} {32} [/ matemáticas]
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Ahora para el denominador:
Deje [math] J = \ int_0 ^ {a} x ^ 2 \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} dx [/ math] y realice la misma sustitución que en el numerador.
[matemáticas] J = a ^ 4 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2 (u) \ cos ^ 2 (u) du [/ matemáticas]
Use la identidad: [math] \ sin (2u) = 2 \ sin (u) \ cos (u) [/ math] para obtener:
[matemáticas] J = \ frac {a ^ 4} {4} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 2 (2u) du [/ matemáticas]
Luego aplique la identidad [matemáticas] \ sin ^ 2 (2u) = \ frac {1- \ cos (4u)} {2} [/ matemáticas], entonces
[matemática] J = \ frac {a ^ 4} {8} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} 1- \ cos (4u) du [/ math].
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos (4u) du = 0 [/ matemáticas], así que terminamos con
[matemáticas] J = \ frac {a ^ 4 \ pi} {16} [/ matemáticas]
Lo que nos interesa es [matemáticas] \ frac {I} {J} = \ frac {a ^ 2} {2} [/ matemáticas]
2)
[math] \ int \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 4- 4x ^ 2-5}} dx [/ math] solo se puede encontrar en términos de integrales elípticas, así que supongo que quiere decir:
[matemáticas] I = \ int \ frac {dx} {\ sqrt {x ^ 2-4x-5}} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 2-4x-5 = (x-2) ^ 2-9 [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] I = \ int \ frac {dx} {\ sqrt {(x-2) ^ 2-3 ^ 2}} [/ matemáticas]
Factoriza un 3 a partir de la raíz cuadrada.
[matemáticas] I = \ int \ frac {dx} {3 \ sqrt {(\ frac {x-2} {3}) ^ 2-1}} [/ matemáticas]
Deje [math] u = \ frac {x-2} {3}, du = \ frac {dx} {3} [/ math]
[matemáticas] I = \ int \ frac {dx} {\ sqrt {u ^ 2-1}} = \ cosh ^ {- 1} (u) [/ matemáticas]
Enchufe x de nuevo
[matemáticas] I = \ cosh ^ {- 1} (\ frac {x-2} {3}) [/ matemáticas]
La función inversa del coseno hiperbólico se puede escribir como [matemáticas] \ cosh ^ {- 1} (z) = \ ln (\ sqrt {z ^ 2-1} + z) [/ matemáticas]
Finalmente,
[matemáticas] I = \ ln (\ sqrt {(\ frac {x-2} {3}) ^ 2-1} + \ frac {x-2} {3}) [/ matemáticas]