¿Por qué una ecuación tiene el mismo número de soluciones que su número de grado más alto?

Answer 1

Bueno, un buen lugar para comenzar es entender la definición de una función. Entonces, la definición es que una variable de entrada tiene una variable de salida, y ahora traigamos un cálculo que trata sobre la continuidad, y usa álgebra para resolver problemas que el álgebra no puede resolver sin la idea de infinito. Otra es que, dado que el cálculo representa problemas de la vida real, y las relaciones de la vida real son complejas, aquí es donde ahora encontramos ecuaciones; a lo que ahora nos referiremos como funciones; que son de alta potencia Y ya conocemos la definición de una función, entonces lo que esto nos dice ahora es que una función de una enésima potencia tendrá enésimas variables de entrada, simplemente debido a la definición, esto es cierto, con algunas excepciones, como factores no reales. , que son entradas no reales. Así que ahora entiendes mejor por qué es así. Pero como un verdadero científico, debe determinar esto por sí mismo. Entonces, obtenga un poco de lápiz y papel, dibuje una función curva como en cálculo, en un plano 2D, y luego dibuje una línea horizontal a través de la función. Entonces, esto básicamente muestra los valores de entrada para un cierto valor de salida. Esperemos que elija algo fácil como una parábola o una función cúbica para que le resulte lo más fácil posible comprenderlo lo suficientemente bien como para poder utilizar esta información para ayudarlo a resolver un problema que no “comprende” jaja). Diviértete, espero que haya sido útil y esclarecedor.

Answer 2

¡Qué gran pregunta! Este es el teorema fundamental del álgebra.

Si cambias ligeramente la afirmación del teorema, puedo hacer que tenga mucho sentido.

Me gusta decir que el número de soluciones de una ecuación f (x) = 0 es el número de veces que la gráfica de y = f (x) cruza el eje x.

Mostraré algunos ejemplos con la ecuación factorizada.

Ejemplos:

1. Si la ecuación es (x – 1) (x – 2) = 0, dibuje la gráfica de y = (x – 1) (x – 2)

y, por supuesto, vemos que se cruza en x = 1 yx = 2, que son las 2 soluciones.

2. Si la ecuación es (x – 1) (x – 2) (x – 4) = 0, dibuje la gráfica de

y = (x – 1) (x – 2) (x – 4) y, por supuesto, vemos que se cruza en x = 1, x = 2 yx = 4, que son las 3 soluciones.

3. Si la ecuación es (x + 2) (x + 1) (x – 1) (x – 2) = 0, dibuje la gráfica de

y = (x + 2) (x + 1) (x – 1) (x – 2) y, por supuesto, vemos que se cruza en x = -2, x = -1, x = 1 yx = 2, que son los 4 soluciones.

AHORA VIENE LA PREGUNTA DURA!

“¿Qué sucede si la gráfica no cruza el eje x?”

como éste:

Esta ecuación todavía tiene 4 soluciones, pero son números COMPLEJOS, por lo que si permitimos esos números complejos que se ajustan a la ecuación y aún producen valores reales de y, entonces obtenemos partes adicionales al gráfico que generalmente aparecen en los puntos máximo / mínimo. Yo llamo a estos GRÁFICOS FANTASMA.

Para hacer esto, agrego otro eje para incluir estos números complejos. Tengo un eje x REAL y un eje x IMAGINARIO con un eje REAL y sobresaliendo en el medio.

Si agregamos estas partes fantasma al gráfico básico, ¡los fantasmas cruzan el plano x!

Ejemplos:

1. La parábola ROJA básica tiene la ecuación y = f (x) = x ^ 2 – 2x + 5 y las soluciones de la ecuación f (x) = 0 son x = 1 + 2i yx = 1 – 2i y aquí es donde ¡El gráfico fantasma PÚRPURA cruza el plano x!

2. Aquí hay una curva cúbica. La ecuación de f (x) = 0 tiene 1 solución real y 2 soluciones complejas.

El fantasma púrpura superior no cruza el plano x, por lo que no muestra ninguna solución para y = 0.

El fantasma púrpura inferior cruza el plano x mostrando las soluciones x = 1 + i y x = 1 – i.

Observe que debido a las posiciones de los gráficos fantasma , siempre producirán raíces que son conjugados complejos (es decir, a + ib y a – ib)

La curva roja básica cruza el plano x que muestra la solución real en x = −1.

3)

4. Por último, ¡el problema de una llamada SOLUCIÓN DOBLE por fin tiene sentido!

En el siguiente caso, el cuarto se “sienta” en el eje x y si no supiéramos acerca de los fantasmas , ¡pensaríamos que solo cruzó el eje x dos veces, pero el Teorema fundamental dice que debería cruzar 4 veces!

Pero como puede ver, el gráfico rojo básico cruza (en realidad “toca”) el eje x dos veces y cada uno de los fantasmas inferiores también toca el eje x.

¡El gráfico cruza el eje x 4 veces!

¡He dedicado un sitio web completo a este tema fascinante y cada vez que hago un nuevo descubrimiento lo agrego! ¡Te animo a visitar el sitio para ver más gráficos increíbles que tienen fantasmas más inesperados!

http://www.phantomgraphs.weebly.com

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Answer 3

Deje n denotar el grado del polinomio p ( x ) en su ecuación ecuación p ( x ) = 0. Tenga en cuenta que las soluciones de la ecuación son las mismas que las raíces de p ( x ).

Hay dos partes en su pregunta. (1) ¿Por qué hay a lo sumo n soluciones? (2) ¿Por qué hay al menos n soluciones?

El primero es relativamente fácil de responder. Si tiene una raíz a del polinomio, entonces x – a divide p ( x ), y el resto de las raíces dividen el cociente p ( x ) / ( x – a ) . Ese cociente es un polinomio de grado n – 1. Si tuviera más de n raíces, podría reducir el grado de p ( x ) por debajo de 0, y eso no se puede hacer.

La otra parte es mucho más difícil. Para hacerlo realidad, cuando cuentes raíces, tendrás que contarlas por su multiplicidad. Por ejemplo, 3 es la única raíz del polinomio [matemáticas] x ^ 2-6x + 9, [/ matemáticas] pero ese polinomio tiene grado 2, no 1. Pero puede decir que 3 es una raíz doble ya que puede dividir el polinomio por x – 3 dos veces.

Además, algunos polinomios no tienen raíces reales. Por ejemplo, [math] x ^ 2 + 1 [/ math] no tiene ninguno. Sin embargo, tiene dos raíces complejas, a saber, i y – i . Para obtener todas las raíces n , también deberá incluir todas las raíces complejas.

El teorema que demuestra que se llama Teorema fundamental del álgebra. Fue formulado en el siglo XVII, pero las matemáticas no se habían desarrollado lo suficiente en ese momento para demostrarlo. La primera prueba fue la de d’Alembert en la década de 1700. Puede haber sido riguroso para los estándares de su tiempo, pero tenía lagunas. Gauss tenía pruebas sobre 1800 con brechas más pequeñas. Uno de los problemas era que la noción de continuidad aún no era completamente rigurosa. Eso se completó después de unas pocas décadas más.

Answer 4

Un polinomio de valor real tiene como máximo raíces [math] n [/ math] porque [math] \ mathbb {R} [x] [/ math] es un dominio de factorización único (ya que es el anillo polinomial de un campo). El polinomio [math] x ^ 2 + 1 [/ math] es irreducible en [math] \ mathbb {R} [x] [/ math] y, por lo tanto, no tiene raíces.
Esta desigualdad también es válida para funciones de valor complejas, pero además, según el teorema fundamental del álgebra, cada polinomio de grado distinto de cero tiene una raíz y, por lo tanto, un polinomio de grado [matemático] n [/ matemático] en [matemático] \ mathbb {C } [x] [/ math], es únicamente (por orden y escala) descomponible en factores lineales [math] n [/ math].

Answer 5

Porque pueden reescribirse de otras maneras.

Un cuadrático se puede escribir como

y = (x – a) (x – b)

¿Cómo es esto igual a 0? Cualquiera de los términos tiene que ser igual a 0.
Entonces x = a y x = b

¿Qué pasa con el 3er poder?

y = (x – a) (x – b) (x – c)

Con esto, ahora hay tres valores que obtendrán una respuesta de 0.

Repita de forma continua, no importa cuántos poderes tenga su polinomio, se aplicará.