¿Cuál es la ecuación de la curva que es sinusoidal sobre la línea y = x?

Answer 1

Deje que el sistema de coordenadas gire en sentido antihorario para que la línea dada por [matemática] y = x [/ matemática] se encuentre en el eje [matemática] X [/ matemática] (con [matemática] Y [/ matemática] perpendicular a ella). Entonces, ahora tenemos el sistema de coordenadas original con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] eje y el sistema de coordenadas rotado [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] .

Tenemos ([matemáticas] \ theta = 45 ^ \ circ [/ matemáticas]),
[matemáticas] X = x \ cos \ theta + y \ sin \ theta = \ frac {x} {\ sqrt {2}} + \ frac {y} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] y
[matemática] Y = -x \ sin \ theta + y \ cos \ theta = – \ frac {x} {\ sqrt {2}} + \ frac {y} {\ sqrt {2}} [/ math].
La relación inversa sería:
[matemáticas] x = X \ cos \ theta-Y \ sin \ theta = \ frac {X} {\ sqrt {2}} – \ frac {Y} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]
[matemática] y = X \ sin \ theta + Y \ cos \ theta = \ frac {X} {\ sqrt {2}} + \ frac {Y} {\ sqrt {2}} [/ math].

Una ecuación general de la curva es ([matemática] A [/ matemática] es una constante):
[matemáticas] Y = \ sin (XA) [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow – \ frac {x} {\ sqrt {2}} + \ frac {y} {\ sqrt {2}} = \ sin \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2}} + \ frac {y} {\ sqrt {2}} – A \ right) [/ math]

Answer 2

La rotación general de una curva f (x, y) viene dada por:
f (x, y) se convierte en f (xcosa-ysina, xsina + ycosa)
Donde ‘a’ es el ángulo de rotación en grados.
Para una curva sinusoidal, es decir, y = sinx, al girar la curva en un ángulo ‘a’ se obtiene la siguiente curva:
xsina + ycosa = sin (xcosa-ysina)

Entonces, según su pregunta, a lo largo de y = x, ‘a’ sería 45 grados.
Por lo tanto, la ecuación de la curva se convierte en algo así como:
(x + y) / sqrt (2) = sin ((xy) / sqrt (2))