¿Es posible resolver analíticamente el sistema de ecuaciones cuadráticas simultáneas [matemáticas] {x} ^ {2} + y = 7 [/ matemáticas] y [matemáticas] x + {y} ^ {2} = 11 [/ matemáticas]?

Answer 1

Las parábolas con eje ortogonal pueden cruzarse en hasta cuatro puntos, y todos los puntos de intersección se ubicarán en un círculo.

Desafortunadamente, esto no le ayuda a evitar resolver una ecuación cuártica, o la ecuación cúbica que obtiene cuando divide el polinomio x por x-2 (o el polinomio y correspondiente por y-3).

El centro del círculo para sus dos parábolas es (-1/2, -1/2), que
se puede ver sumando las dos ecuaciones para obtener

[matemáticas] x ^ 2 + x + y ^ 2 + y = 18 [/ matemáticas]

y reescribiendo como

[matemáticas] (x + 1/2) ^ 2 + (y + 1/2) ^ 2 = 37/2 [/ matemáticas]

En el caso general de parábolas.

[matemáticas] P_ {1} (x) = Ax ^ 2 + Bx + C = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] P_ {2} (y) = Dy ^ 2 + Ey + F = 0 [/ matemáticas]

podemos reescribir multiplicar y agregar para obtener …

[matemáticas] D * P_ {1} (x) + A * P_ {2} (x) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] ADx ^ 2 + DBx + DC [/ matemática] [matemática] + ADy ^ 2 + AEy + AF = 0 [/ matemática]

[matemáticas] AD (x + \ frac {B} {2A}) ^ 2 + [/ matemáticas] [matemáticas] AD (y + \ frac {E} {2D}) ^ 2 = \ frac {B ^ 2} {4A ^ 2} + \ frac {E ^ 2} {4D ^ 2} – DC – AF [/ matemáticas]

Answer 2

A2A

Hay más respuestas reales que solo (2,3).

Echa un vistazo a la gráfica:

Entonces, ¿cómo hacemos esto analíticamente?

Primero, hacemos algunas sustituciones:

[matemática] y = 7 -x ^ 2 [/ matemática] entonces [matemática] x + (7-x ^ {2}) ^ {2} = 11 [/ matemática]

Simplificar esto deja una ecuación cuártica:

[matemáticas] x ^ 4 – 14x ^ 2 + x + 38 = 0 [/ matemáticas]

Las personas más inteligentes que yo tienen métodos algebraicos para encontrar soluciones a las ecuaciones cuárticas.

Aquí se describe uno de estos métodos: la función Quartic.

No resolví esto a mano, pero sé que muchos dolores de cabeza más tarde podrías obtenerlos resolviendo la ecuación cuántica anterior:

x = 2, 3.131, -1.848, -3.283

Ahora inserte estos valores en [matemáticas] x ^ 2 + y = 7 [/ matemáticas]

y obtienes los pares (x, y) que se muestran en el gráfico anterior.

Answer 3

[matemáticas] y = 7 – x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + y ^ 2 = 11 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + (7 – x ^ 2) ^ 2 = 11 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + 49 – 14x ^ 2 + x ^ 4 = 11 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 4 – 14x ^ 2 + x + 38 = 0 [/ matemáticas]

Ahora esta ecuación tiene 4 raíces pero si sustituyes x = 2, podemos ver que resuelve esta ecuación. En el caso general, debe usar la fórmula para encontrar raíces de ecuaciones cuárticas. Terminarás eliminando algunas raíces dependiendo del número de puntos de intersección entre las dos curvas (serán raíces complejas).

Editar: Encontrar raíces de un polinomio cuártico usando la fórmula mencionada en wikipedia no es una buena idea si lo está haciendo a mano. No vale la pena memorizar estas cosas, y la resolución de ecuaciones cuárticas nunca debe preguntarse en las pruebas. Es una idea mucho mejor dejar el número en las computadoras.

Answer 4

Dado x * x + y = 7

y = 7-x ^ 2… .. (1)

Y x + y * y = 11 … (2)

Sustituya la ecuación (1) en la ecuación (2)
x + (7-x ^ 2) ^ 2 = 11
x ^ 4-14x ^ 2 + x + 38 = 0
x = 2
x = -3.2831 + 0. * 10 ^ (- 6) i
x = -1.84813 + 0. * 10 ^ (- 6) i

Al sustituir el valor x en la ecuación (1)
tenemos
y = 3
y = -3.77931 + 0. * 10 ^ (- 6) i
y = 3.58443 + 0. * 10 ^ (- 6) i

Ayuda con la ecuación cuadrática