La leyenda dice que Josephus no habría vivido para hacerse famoso sin sus talentos matemáticos. Durante la guerra judía {romana, estuvo entre una banda de 41 rebeldes judíos atrapados en una cueva por los romanos. Al preferir el suicidio a la captura, los rebeldes decidieron formar un círculo y, siguiendo a su alrededor, matar a cada tercera persona restante hasta que no quedara nadie. Pero Josefo, junto con un conspirador no acusado, no quería nada de estas tonterías suicidas; así que rápidamente calculó dónde deberían estar él y su amigo en el círculo vicioso.
Generalización:
Mientras generalizamos, comenzamos con [matemática] n [/ matemática] personas que comienzan de [matemática] 1 [/ mat] a [matemática] n [/ matemática] alrededor de un círculo, y eliminamos a cada segunda persona hasta que una sobrevive.
Por ejemplo para [matemáticas] n = 10 [/ matemáticas]
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el orden de eliminación es [matemática] 2, 4, 6, 8, 10,3,7,1,9 [/ matemática] así que [matemática] 5 [/ matemática] sobrevive.
Determine el número del sobreviviente, [matemáticas] J (n) [/ matemáticas].
Acabamos de ver que [matemáticas] J (10) = 5 [/ matemáticas]. Podríamos conjeturar que [matemáticas] J (n) = n / 2 [/ matemáticas] cuando n es par; y el caso [math] n = 2 [/ math] apoya la conjetura: [math] J (2) = 1 [/ math]. Pero unos pocos
otros casos pequeños nos disuaden | la conjetura falla para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]
Vuelve a la mesa de dibujo; Tratemos de adivinar mejor. Hmmm … [matemáticas] J (n) [/ matemáticas] siempre parece ser extraño. Y de hecho, hay una buena razón para esto: el primer viaje alrededor del círculo elimina todos los números pares. Además, si n es un número par, llegamos a una situación similar a la que comenzamos, excepto que solo hay la mitad de personas y sus números han cambiado.
Así que supongamos que originalmente tenemos [matemáticas] 2n [/ matemáticas] personas. Después de la primera ronda, nos quedamos.
y [matemáticas] 3 [/ matemáticas] irá a continuación. Ahora concéntrate, esto es exactamente como comenzar con [matemáticas] n [/ matemáticas] personas, ¿no? con solo una diferencia que es el número de personas se duplica y disminuye en [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
[matemáticas] 3 = 2 * 2 – 1, 5 = 2 * 3 -1… [/ matemáticas]
Es decir…
[matemáticas] J (2n) = 2J (n) – 1 [/ matemáticas], para [matemáticas] n> = 1 [/ matemáticas]
¿Pero qué pasa con el extraño caso? Con [matemática] 2n + 1 [/ matemática] personas, resulta que el número de persona [matemática] 1 [/ matemática] se borra justo después del número de persona [matemática] 2n [/ matemática], y nos quedamos con …
Nuevamente, casi tenemos la situación original con n personas, pero esta vez sus números se duplican y aumentan en 1. Por lo tanto
[matemáticas] J (2n + 1) = 2J (n) + 1; para n> = 1 [/ matemática].
La combinación de estas ecuaciones con [matemáticas] J (1) = 1 [/ matemáticas] nos da una recurrencia que define J en todos los casos:
[matemáticas] J (1) = 1; [/ matemáticas]
[matemáticas] J (2n) = 2J (n) – 1; para n> = 1; [/ matemáticas]
[matemáticas] J (2n + 1) = 2J (n) + 1; para n> = 1. [/ math] …… [math] (1) [/ math]
En lugar de obtener [matemáticas] J (n) [/ matemáticas] de [matemáticas] J (n-1) [/ matemáticas], esta recurrencia es mucho más “eficiente” porque reduce n en un factor de 2 o más cada vez Se aplica. Podríamos calcular J (1000000), digamos, con solo 19 aplicaciones de [math] (1) [/ math]. Pero aún así, buscamos una forma cerrada, porque será aún más rápido y más informativo. Después de todo, esto es una cuestión de vida o muerte.
Nuestra recurrencia permite hacer una tabla de valores pequeños. Quizás podamos encontrar la respuesta.
Wow, parece que están agrupados en potencias de dos (marcados por líneas verticales en la tabla). ¿No son ellos?
[matemática] J (n) [/ matemática] es siempre [matemática] 1 [/ matemática] al comienzo de un grupo y aumenta en [matemática] 2 [/ matemática] dentro de un grupo.
Entonces, si escribimos [matemática] n [/ matemática] en la forma [matemática] n = 2m + l [/ matemática], donde [matemática] 2m [/ matemática] es el
mayor potencia de [matemática] 2 [/ matemática] que no excede [matemática] n [/ matemática] y donde [matemática] l [/ matemática] es lo que queda, la solución a nuestra recurrencia parece ser
[matemática] J (2m + l) = 2l + 1; [/ matemática] para [matemática] m> = 0 [/ matemática] y [matemática] 0 <= l <2m [/ matemática]
¿Espero que esto haya ayudado?
Saludos y feliz recursión 😛
fuente: Matemáticas concretas: una base para la informática