La ecuación del círculo dado, x² + y² = 5, está en forma estándar y nos dice que el centro del círculo está en el origen, es decir, en el punto (0, 0), y tiene un radio de r = √ 5, y la ecuación de la línea dada es y = 2x – k es la forma pendiente-intersección para la ecuación de una línea recta, es decir, y = mx + b, donde la pendiente m = 2 y la intersección y b = ‒k .
Como primer paso para encontrar los valores exactos deseados de “k” para los cuales la línea dada y = 2x – k es tangente al círculo dado, consideraremos la ecuación del círculo dado y resolveremos y en términos de x como sigue:
x² + y² = 5
y² + x² = 5
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- ¿Por qué la ecuación de una línea se expresa como y = mx + c en el Reino Unido e y = mx + b en los Estados Unidos?
- ¿Por qué una ecuación tiene el mismo número de soluciones que su número de grado más alto?
- ¿Alguien puede ayudarme a resolver esta ecuación: y ” + 9y = 6cos (ax) donde a es una constante?
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y² + x² – x² = 5 – x²
y² = 5 – x²
Ahora, tomando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
y = ± √ (5 – x²)
En consecuencia, tenemos:
y = √ (5 – x²), un semicírculo, es la mitad del círculo dado sobre el eje x, y …
y = ‒√ (5 – x²), un semicírculo, es la otra mitad del círculo dado debajo del eje x.
En el punto de tangencia o intersección, (x, y), entre el círculo dado y la línea dada, el círculo y la línea tienen un punto en común; por lo tanto, en ese punto, sus valores x o coordenadas y sus valores y coordenadas serán iguales, es decir, iguales; en consecuencia, podemos establecer los dos valores y iguales entre sí y resolver “k” de la siguiente manera:
(1.) Para el caso del semicírculo y = √ (5 – x²) :
y = y (La igualdad es reflexiva, es decir, para cualquier número real a, a = a)
√ (5‒ x²) = 2x – k
√ (5‒ x²) + k = 2x – k + k
√ (5‒ x²) + k = 2x + 0
√ (5‒ x²) + [‒√ (5 – x²)] + k = 2x + [‒√ (5 – x²)]
0 + k = 2x + [‒√ (5 – x²)]
k = 2x + [‒√ (5 – x²)]
k = 2x ‒√ (5 – x²) es el valor genérico de k para el cual la línea dada y = 2x – k es tangente al círculo dado x² + y² = 5 arriba del eje x.
(2.) Para el caso del otro semicírculo: y = ‒√ (5 – x²) :
y = y (La igualdad es reflexiva, es decir, para cualquier número real a, a = a)
‒√ (5 – x²) = 2x – k
‒√ (5 – x²) + k = 2x – k + k
‒√ (5 – x²) + k = 2x + 0
‒√ (5 – x²) + √ (5 – x²) + k = 2x + √ (5 – x²)
0 + k = 2x + √ (5 – x²)
k = 2x + √ (5 – x²) es el valor genérico de k para el cual la línea dada y = 2x – k es tangente al círculo dado x² + y² = 5 debajo del eje x.
Ahora tenemos los dos valores genéricos de k: k = 2x ‒√ (5 – x²) y k = 2x + √ (5 – x²). Estos dos valores genéricos de k implican correctamente dos líneas tangentes y, en consecuencia, dos puntos de tangencia con el círculo dado x² + y² = 5, es decir, tenemos dos líneas tangentes, no solo una; sin embargo, para determinar los valores exactos de “k” , tenemos que conocer las coordenadas x de los dos puntos de tangencia ya que los dos valores genéricos de “k” están en términos de las coordenadas x de los puntos de tangencia .
Sabemos que la pendiente de cada una de las dos líneas tangentes es m = 2 ya que ambas están representadas por la ecuación dada: y = 2 x – k. También sabemos que la pendiente de una línea tangente a una curva es igual a la pendiente de la curva en el punto de tangencia (x, y), y la pendiente de la curva en el punto de tangencia es igual al valor de su curva. primera derivada de la función en ese punto, es decir, la pendiente m de la curva en el punto de tangencia (x, y) = dy / dx. ( NOTA : Aunque el círculo dado x² + y² = 5 no representa una función, implícitamente representa dos funciones, es decir, cada uno de sus dos semicírculos: y = √ (5 – x²) e y = ‒√ (5 – x²) explícitamente representan funciones!)
Entonces, para encontrar las coordenadas x de los dos puntos de tangencia, (x, y), primero debemos usar la diferenciación implícita para diferenciar la ecuación implícita del círculo dado, x² + y² = 5, con respecto a x en orden para darnos una fórmula para dy / dx que sea igual a la pendiente del círculo en cualquier punto del círculo (excepto en el eje x), en particular, en los dos puntos de tangencia:
Ahora, diferencie ambos lados de la ecuación para el círculo dado: x² + y² = 5 con respecto a x de la siguiente manera:
d [x² + y²] / dx = d [5] / dx
d [x²] / dx + d [y²] / dx = d [5] / dx
2x + 2y (dy / dx) = 0
2x‒ 2x + 2y (dy / dx) = 0 – 2x
[2y (dy / dx)] / 2y = (- 2x) / 2y
dy / dx = ‒x / y
Ahora, dado que nuestras dos líneas tangentes, y = 2 x – k, tienen una pendiente de m = 2 , ahora dejamos dy / dx = ‒x / y = 2 para encontrar las coordenadas x de los dos puntos de tangencia donde círculo x² + y² = 5 también tiene una pendiente de m = 2.
dy / dx = ‒x / y = 2; Resolviendo para y, tenemos:
(‒X / y) y = (2) y
(1/2) (2y) = (‒x) (1/2) (La igualdad es simétrica, es decir, si a = b, entonces b = a)
y = ‒x / 2 (esta ecuación expresa la relación entre x- y
coordenadas y en los puntos de tangencia)
Ahora, sustituyendo y = ‒x / 2 en la ecuación x² + y² = 5 para y, y resolviendo para x de la siguiente manera:
x² + y² = 5
x² + (‒x / 2) ² = 5
x² + (x² / 4) = 5
(4x² / 4) + (x² / 4) = 5
(5x² / 4) (4) = 5 (4)
(1/5) (5x²) = (1/5) (20)
x² = 4
x = ± 2
Por lo tanto, x = -2 yx = 2 son las coordenadas x de los dos puntos de tangencia. Las coordenadas y correspondientes son:
Para x = -2 Para x = 2
y = -x / 2 y = -x / 2
= – (- 2) / 2 = – (2) / 2
= 1 = -1
Por lo tanto, los dos puntos de tangencia son: (-2, 1) y (2, -1).
Por lo tanto, la dos deseados, exactos Los valores de “k” para los cuales las dos líneas y = 2x – k son tangentes al círculo dado x² + y² = 5 se calculan de la siguiente manera:
Para k = 2x ‒√ (5 – x²) , que es el valor genérico de “k” para el cual la línea dada y = 2x – k es tangente al círculo dado x² + y² = 5 arriba del eje x en el punto (‒2, 1), tenemos:
k = 2x ‒√ (5 – x²)
= 2 (‒2) – √ [5 – (‒2) ²]
= ‒4 – √ [5 – (4)]
= ‒4 – √1
= ‒4 – 1
k = ‒5 y …
Para k = 2x + √ (5 – x²) , que es el valor genérico de “k” para el cual la línea dada y = 2x – k es tangente al círculo dado x² + y² = 5 debajo del eje x en el punto (2, ‒1), tenemos:
k = 2x + √ (5 – x²)
= 2 (2) + √ [5 – (2) ²]
= 4 + √ [5 – (4)]
= 4 + √1
= 4 + 1
k = 5
Nota: Las dos líneas paralelas¹ que tienen la forma y = 2x – k y que son tangentes al círculo dado x² + y² = 5 son:
(1.) y = 2x – k
y = 2x – (‒5)
y = 2x + 5 intersecta el círculo dado en el punto de tangencia (‒2, 1), y …
(2.) y = 2x – k
y = 2x – (5)
y = 2x – 5 intersecta el círculo dado en el punto de tangencia (2, ‒1).
¹ Las dos líneas tangentes y = 2 x + 5 e y = 2 x – 5 son paralelas entre sí porque tienen pendientes iguales, es decir, m = 2.
