¿Cómo comenzaría a resolver la ecuación [matemáticas] (12x ^ 3 + 108x) \ log (x + \ frac {1} {4}) [/ matemáticas] = [matemáticas] (x ^ 2 + 9) \ tan ( x + 4) [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] (12x ^ 3 + 108x) \ log (x + \ frac {1} {4}) – [/ matemáticas] [matemáticas] (x ^ 2 + 9) \ tan (x + 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 12x (x ^ 2 + 9) \ log (x + \ frac {1} {4}) – [/ matemáticas] [matemáticas] (x ^ 2 + 9) \ tan (x + 4) = 0 [ /matemáticas]

[matemática] (x ^ 2 + 9) \ izquierda (12x \ log (x + \ frac {1} {4}) – \ tan (x + 4) \ derecha) = 0 [/ matemática]

Ya sea [matemáticas] x ^ 2 + 9 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 12x \ log (x + \ frac {1} {4}) – \ tan (x + 4) = 0 [/ matemáticas].

En el primer caso:
[matemáticas] x ^ 2 + 9 = 0 [/ matemáticas]

Inmediatamente tenemos las soluciones complejas:
[matemáticas] x = \ pm 3i [/ matemáticas].

En el segundo caso:
[matemáticas] 12x \ log (x + \ frac {1} {4}) – \ tan (x + 4) = 0 [/ matemáticas]

Asumiré que [math] \ log [/ math] se refiere al logaritmo natural, aunque nada es muy diferente (aparte de las soluciones en sí) si su registro tiene alguna otra base.

Considere las dos funciones:
[matemáticas] f_1 (x) = 12x \ log (x + \ frac {1} {4}) [/ matemáticas]
[matemáticas] f_2 (x) = \ tan (x + 4) [/ matemáticas]

Darse cuenta de:

i) [matemática] f_1 (x) [/ matemática] es continua en el dominio [matemática] x> – \ frac 1 4 [/ matemática]
ii) [math] f_2 (x) [/ math] toma todos los valores reales posibles para [math] x \ in \ left (n \ pi- \ frac \ pi 2 -4, n \ pi + \ frac \ pi 2 – 4 \ right) [/ math] para algún número entero [math] n [/ math]

Juntas, estas afirmaciones implican que debe haber al menos una solución en cada intervalo descrito en (ii) siempre que [matemática] x> \ frac 1 4 [/ matemática] (para que se defina el registro), por lo que hay infinitos muchos Soluciones valoradas. Adjunto una imagen de un diagrama de semi-log de ambas funciones al final de esta respuesta. (La escala logarítmica en el eje y es esencial si desea poder ver algo). Los cruces indican soluciones.

Lamentablemente, no podrá encontrar estas soluciones en términos de funciones elementales. Lo mejor que puede hacer es aproximarlos numéricamente. Hay muchos algoritmos numéricos que pueden hacer el trabajo.

Un enfoque realmente genial es una iteración de punto fijo. Con algo de álgebra en la ecuación original, este método funciona realmente muy bien para [math] n \ ge 2 [/ math]. Resulta que este método no converge correctamente para [matemática] n = 1 [/ matemática] por lo que no encontrará la solución más cercana a cero (que es aproximadamente x = -0.0533072).

Reescribimos la ecuación (para algunos enteros [matemática] n [/ matemática]):
[matemáticas] \ arctan \ left (12x \ log (x + \ frac {1} {4}) \ right) -4 + n \ pi = x [/ math]

Defina la función [matemáticas] g_n (x) = \ arctan \ left (12x \ log (x + \ frac {1} {4}) \ right) -4 + n \ pi [/ math]. Entonces, un punto fijo de esta función (es decir, un punto que se asigna a sí mismo de manera que [matemática] g_n (x) = x [/ matemática]) es una solución a la ecuación.

Deje [math] x_0 = n \ pi-4 [/ math]. (Esta será una buena aproximación del punto fijo de [math] g_n [/ math] ya que debe estar dentro de [math] \ frac \ pi 2 [/ math] del punto fijo).

Deje [math] x_k = g_n (x_ {k-1}) [/ math] para [math] k = 1,2,3, \ ldots [/ math].

Entonces [math] x = \ lim_ {k \ to \ infty} x_k [/ math] es un punto fijo de [math] g_n [/ math] y, por lo tanto, una solución a la ecuación.

Esta secuencia converge muy rápidamente. Por ejemplo, para [matemáticas] n = 10 [/ matemáticas], estos son los primeros términos:

[matemáticas] x_0 = 27.4159265358979 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 = 28.9858073776468 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = 28.9858711193606 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_3 = 28.9858711217838 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_4 = 28.9858711217839 [/ matemáticas]

La secuencia converge a la precisión de la máquina en solo cuatro iteraciones.

Aquí está la secuencia para [matemáticas] n = 100 [/ matemáticas].

[matemáticas] x_0 = 310.159265358979 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 = 311.730014860357 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = 311.730015137250 [/ matemáticas]

En este caso, la secuencia ha convergido en solo dos iteraciones.

Aquí hay un código de Octave / Matlab:

  g = @ (x, n) atan (12. * x. * log (x + .25)) + n * pi-4;  % define la función
 x = ceros (15,1);  % inicializar matriz para almacenar las x
 n = 100;  % elige un valor para n
 x (1) = n * pi-4;  % initialize x_0
 para i = 2: longitud (x)% itera los primeros términos de la secuencia
     x (i) = f (x (i-1), n);  % obtiene el nuevo valor
 fin
 formato largo% asegúrese de poder ver todos los dígitos
 disp (x)% muestra los valores de x

Aquí está el diagrama de semi-log: