Como suele ser el caso con los problemas de Quora, mi primera pregunta fue ¿de dónde viene ese problema? ¿Es simplemente un ejercicio de libro de texto que solo pide una solución general que involucre dos constantes arbitrarias? Parecería que sí. No se proporciona suficiente información para determinar si se trata de un problema de valor límite o un problema de valor inicial. Es decir, el OP no ha pedido resolver un problema particular que requeriría la especificación y aplicación de valores límite o valores iniciales.
Un análisis típico de una ecuación diferencial no lineal de segundo orden como esta podría comenzar escribiéndola como un sistema de ecuaciones de primer orden, estableciendo [matemática] x_1 = y [/ matemática] y [matemática] x_2 = y ‘[/ matemática ], en cuyo caso tenemos en forma vectorial [matemática] X ‘(X) = f (X) [/ matemática], donde [matemática] X = [x_1 \, \, x_2 \,] ^ T [/ matemática] y [matemáticas] f (X) = [f_1 (X) \, \, f_2 (X)] ^ T = [x_2 \, \, \, 1 / x_1 ^ 2] ^ T [/ matemáticas], o en forma de componente:
[matemáticas] \ begin {align} x’_1 & = x_2 = f_1 (x_1, x_2), \\ x’_2 & = \ frac {1} {x_1 ^ 2} = f_2 (x_1, x_2) \,. \ end {align} [/ math]
El procedimiento habitual es linealizar el sistema sobre los puntos fijos de [math] f [/ math] (definido por los valores de [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] para el cual [math] f_1 (x_1, x_2) = 0 [/ math] y [math] f_2 (x_1, x_2) = 0 [/ math]), e investigue su estabilidad a medida que varían los parámetros del sistema. Desafortunadamente, en este caso no hay puntos fijos ni parámetros . Parece que la metodología habitual es inútil aquí.
Intentar dar seguimiento a una de las respuestas de Siddhant Das siempre es un poco insensato, ya que son notablemente minuciosas y precisas, pero hay un par de observaciones que pueden ser de algún interés. Para recapitular, Siddhant encuentra una primera integral de [matemáticas] y ^ {\ prime \ prime} = y ^ {- 2} [/ matemáticas] al multiplicar ambos lados por [matemáticas] y ‘[/ matemáticas], suponiendo que [matemáticas] y ‘\ neq 0 [/ math]. Esto produce [matemáticas] y ‘\, y ^ {\ prime \ prime} = y’ \, y ^ {- 2} [/ matemáticas], que puede escribirse como [matemáticas] \ frac {1} {2} \ , [(y ‘\,) ^ 2] ^ \ prime = – (y ^ {- 1}) ^ \ prime [/ math], integrando a [math] (y’ \,) ^ 2 = – 2 \, y ^ {- 1} + C [/ matemáticas]. La solución general para la derivada sería, por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle y ‘= \ pm \ sqrt {\, C – 2 / y \,}. \ tag {1} [/ matemáticas]
Sin embargo, la integración de la ecuación diferencial de segundo orden original una vez que produce
[matemáticas] \ displaystyle y ‘= \ int \, \ frac {1} {y ^ 2} \, dx, \ tag {2} [/ matemáticas]
establecer la positividad de la primera derivada, [matemática] y ^ {\ prime}> 0 [/ matemática], ya que el integrando es positivo en todas partes (rechazando la posibilidad [matemática] y = 0 [/ matemática], en cuyo caso el diferencial la ecuación no está bien definida), por lo que deberíamos tener, como Siddhant supone,
[matemáticas] \ displaystyle y ‘= \ sqrt {\, C – 2 / y \,}. \ tag {3} [/ matemáticas]
Esto, en primer lugar, pone fin a un punto planteado por Alankar Rastogi en el comentario / 19234955 sobre la respuesta de Awnon Bhowmik, a saber: en la primera solución integral, solo debe considerarse la raíz cuadrada positiva . Por cierto, la respuesta de Awnon es incorrecta , ya que comete un par de errores en la sustitución siguiendo la línea de su respuesta que comienza “Sustituyendo estos nuevamente en la ecuación diferencial, tenemos” [math] \ ldots [/ math] donde él debería haber tomado una raíz cuadrada para obtener en su lugar
[matemáticas] \ displaystyle \ int \, 2 \ sqrt {u ^ 2 + 1} \, C ^ {- 3/2} \, du = \ int \, \ sqrt {2} \, dx \ ,. [/ matemáticas]
Esta es obviamente una integral más complicada de evaluar que la de Awnon. Sin embargo, al final se puede demostrar que está de acuerdo con la forma implícita de la solución de Siddhant (después de tener en cuenta el hecho de que Awnon [math] 2C [/ math] es Siddhant [math] C [/ math]). A riesgo de quedarme más tiempo aquí, quizás valga la pena dar los detalles de la integración (3), a pesar de que el resultado se encuentra fácilmente con WolframAlpha. Primero, separe la ecuación como
[matemáticas] \ displaystyle \ int \, \ frac {\ sqrt {y}} {\ sqrt {Cy – 2}} \, dy = \ int \, dx. [/ math]
Realice el cambio de variables a [math] u = \ sqrt {Cy – 2} [/ math], en cuyo caso [math] du = \ frac {C \, dy} {2 \ sqrt {Cy – 2}} [ / math] y [math] \ sqrt {y} = \ frac {\ sqrt {u ^ 2 + 2}} {\ sqrt {C}} [/ math], obteniendo
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {C ^ {3/2}} \ int \, \ sqrt {u ^ 2 + 2} \, du = \ int \, dx \ ,. [/ math]
Ahora deje que [math] u = \ sqrt {2} \, \ tan {z} [/ math], [math] du = \ sqrt {2} \, \ sec ^ 2 {z} \, dz [/ math] , y use la identidad trigonométrica [matemáticas] \ tan ^ 2 {z} + 1 = \ sec ^ 2 {z} [/ matemáticas] para reducir esto a
[matemáticas] \ displaystyle 4 \ int \, \ sec ^ 3 {z} \, dz = C ^ {3/2} \ int \, dx. [/ math]
Usando el conocido resultado [math] \ int \ sec {z} \, dz = \ ln {| \ sec {z} + \ tan {z} |} [/ math], una integración por partes de la integral en el lado izquierdo cede
[matemáticas] \ displaystyle 2 (\, \ sec {z} \ tan {z} + \ ln {| \ sec {z} + \ tan {z} |} \,) = C ^ {3/2} \, x \, + \, C_0. [/ math]
Reemplazar [math] \ tan {z} = \ sqrt {Cy – 2} / \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ sec {z} = \ sqrt {1 + \ tan ^ 2 {z} } = \ sqrt {Cy} / \ sqrt {2} [/ math], obtenemos el resultado final:
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {Cy} \, \ sqrt {Cy – 2} + 2 \ ln {\ big \ lvert (\, \ sqrt {Cy} + \ sqrt {Cy – 2 \,} \, \, ) \ big \ rvert} = C ^ {3/2} \, x \, + \, C_1 \ ,, \ tag {4} [/ math]
después de agregar un término [matemática] 2 \ ln {\ sqrt {2}} = \ ln {2} [/ matemática] a ambos lados para definir una nueva constante [matemática] C_1 [/ matemática]. La forma de Siddhant de la solución sigue factorizando [matemática] y [/ matemática] de [matemática] \ sqrt {Cy – 2} [/ matemática], moviendo el factor de [matemática] 2 [/ matemática] delante del logaritmo a el exponente de su argumento, cuadrando el argumento y luego simplificando el resultado.
Siddhant hace un excelente punto al observar que la complicada solución implícita (4) de la ecuación diferencial no lineal de primer orden (3) no es muy útil para analizar el comportamiento de la función [matemáticas] y (x) [/ matemáticas], y sugiere, en cambio, un análisis de espacio de fases. Esto implica, según tengo entendido, trazar [matemática] y ‘[/ matemática] -vs- [matemática] y [/ matemática], y estudiar la gráfica como [matemática] C [/ matemática] es variada. Comenta sobre la apariencia de un comportamiento “no tan obvio” cuando [matemática] C [/ matemática] cruza [matemática] 1 [/ matemática] desde la izquierda, pero sin su perspicacia realmente no puedo comentar sobre esto.
Aunque el sistema no lineal de ecuaciones de primer orden equivalente a la ecuación de segundo orden no tiene puntos fijos, la ecuación no lineal de primer orden (3) resultante de una primera integración sí . También contiene un parámetro [matemático] C [/ matemático], la constante de integración normalmente determinada por una condición inicial o límite. Por lo tanto, si [math] y ‘= f (y) [/ math], donde [math] f (y) = \ sqrt {\, C – 2 / y \,} [/ math] aquí, los puntos fijos son definido por las soluciones [matemáticas] y _ * [/ matemáticas] de [matemáticas] f (y_ *) = 0 [/ matemáticas], y donde definimos [matemáticas] y ‘_ *: = f (y_ *) = 0 [/ matemáticas]. La ecuación diferencial se linealiza alrededor del punto fijo estableciendo [matemática] y = y_ * + u [/ matemática], donde [matemática] | u | [/ matemática] es pequeña en algún sentido. La función [math] f [/ math] ahora se expande alrededor de [math] y _ * [/ math] en una serie de potencia a primer orden en [math] u [/ math], es decir, [math] f (y_ * + u) = f (y_ *) + f ‘(y_ *) u = f’ (y_ *) u [/ math], de modo que [math] y ‘= y’ _ * + u ‘= u’ = f ‘ (y_ *) u [/ math], usando [math] y ‘_ * = f (y_ *) = 0 [/ math].
Para este problema, [matemática] f (y_ *) = \ sqrt {\, C – 2 / y \,} = 0 [/ matemática] da un único punto fijo en [matemática] y_ * = 2 / C [/ matemática ] Su derivada evaluada en [math] y _ * [/ math] es [math] f ‘(y_ *) = C ^ 2/4 \ geq 0 [/ math], para todos [math] C [/ math], entonces la solución de [matemáticas] u ‘= f’ (y_ *) u = (C ^ 2/4) u [/ matemáticas] es simplemente la función exponencial [matemáticas] u (x) = u_0 e ^ {\ frac {C ^ 2} {4} x} [/ matemática] (para [matemática] C = 0 [/ matemática] se reduce a una solución constante [matemática] u_0 [/ matemática]). Podemos concluir que para [matemática] C \ neq 0 [/ matemática] la solución diverge exponencialmente cerca del punto fijo, que por lo tanto es un punto fijo inestable de la ecuación diferencial (3).