¿Cómo encuentras la ecuación de una línea tangente / normal de una curva en un punto dado?

Answer 1

Como no ha especificado en qué sistema de coordenadas desea que sean las ecuaciones, aquí hay una sugerencia usando ecuaciones paramétricas:

Suponiendo que la curva tiene la forma [matemática] y = f (x) [/ matemática], puede usar:

[matemáticas] N_ {x_0, y_0} (t) = (x_0, f (x_0)) + (f ‘(x_0), 1) .t [/ matemáticas]

Esta es la ecuación paramétrica para la curva normal en el punto [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática].

Usando el vector perpendicular [math] (-1, f ‘(x_0)) [/ math], que es fácil de encontrar en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], obtenemos la ecuación para el parámetro línea tangente en [math] (x_0, y_0) [/ math]:

[matemáticas] T_ {x_0, y_0} (t) = (x_0, f (x_0)) + (1, -f ‘(x_0)). t [/ matemáticas]

Los vectores [math] (-f ‘(x_0), 1) [/ math] y [math] (1, f’ (x_0)) [/ math] son ​​perpendiculares como esperamos que sean.

Si la curva es una curva paramétrica suave en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] espacio, digamos, [math] \ alpha (t) = (x (t), y (t), z (t )) [/ math] entonces puedes usar el vector:

[matemáticas] \ alpha ‘(t_0) = (\ frac {dx} {dt} (t_0), \ frac {dy} {dt} (t_0), \ frac {dz} {dt} (t_0)) [/ math ]

para obtener el vector tangente a la curva en el punto [matemáticas] x (t_0), y (t_0), z (t) [/ matemáticas]. Suponiendo que [math] \ alpha ‘(t_0) \ neq 0 [/ math].

Ahora, en este caso, encontrar el vector perpendicular (normal) no es trivial como en el caso [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], porque tenemos infinitos vectores perpendiculares al vector tangente. Lo que se puede hacer en ese caso es: elegir cualquier vector que no sea colineal con el vector tangente y encontrar el producto cruzado entre la tangente y ese vector en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. El vector resultante será perpendicular a los vectores tangentes y normales. Este vector a menudo se llama binormal. Finalmente, el producto cruzado entre binormal y tangente producirá el vector normal.

Answer 2

Como ya te han dado respuestas rigurosas, intentaré ser práctico, así que cuando termines de leer, calcularás rápidamente tus tangentes rápidamente.

Solo se le pide que encuentre 2 números: uno lo llamamos “n”, el otro “m”, cuando los tenga, escriba la ecuación tangente como esta: y = mx + n.

¿Cómo puedes encontrar myn?

Utilizará dos ideas, una para cada una de ellas.
Vamos a bajar2 tierra: tu curva será y = x ^ 2 + 3, y quieren que encuentres la línea de fuerza tangente a esa curva en el punto xo = 1 yo = 4.

¡Cuidado! Si digo x0 = 1, no necesito informarte que y0 = 4, porque la curva dice “toma x, cuadrátalo y suma 3” y obtienes 1 + 3 = 4.

este punto “obedece la curva” (1,4) pero también “obedece la línea recta y = mx + n
porque nuestra curva y la tangente “toca”, “besa” en ese punto, entonces

y = m x + n se escribe 4 = m 1 + n 4 = m + n

No puedo contenerme. cada vez que alguien me diga “m”, diré “n = 4-m”.

Este “beso” ha sido la primera idea que utilizamos. ¿El segundo?

“m” es la pendiente de ambos: la línea y la curva, impresionante, luego

la pendiente de una curva será m
entonces la derivada en ese punto es igual
dY
m = —– = 2 x ==> en x0 = 1 => m = 2 * 1 ==> m = 2 => n = 4-2 = 2
dx

y “el ganador es”: y = 2 x +2

Prueba con otro, esta vez más rápido
encuentre la ecuación de la tangente en el punto (4 2) a la curva y = sqrt (x)

primero el punto (4 2) 2 = 4m + n entonces n = 2-4m
La segunda derivada en (4 2) derivada del sqrt es 1 / (2 sqrt).

1 sqrt (2)
———- = ————- = m ==> sqrt (2) = 4 m => n = 2-sqrt (2)
2 pies cuadrados (2) 4

y el ganador es y = sqrt (2) x / 4 + 2-sqrt (2)

Answer 3

Ecuación de una línea tangente en el punto [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] en la curva

[matemática] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemática], donde m es la pendiente de la curva [matemática] y = f (x) [/ matemática] en [matemática] (x_1, y_1) [/ matemáticas]

Ecuación de una línea normal en el punto [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] en la curva

[matemática] y-y_1 = – \ frac {1} {m} (x-x_1) [/ matemática], donde m es la pendiente de la curva [matemática] y = f (x) [/ matemática] en [matemática ] (x_1, y_1) [/ matemáticas]

Observe que las líneas normales y tangentes son perpendiculares entre sí, ya que el producto de sus pendientes es -1.

Answer 4

Para encontrar las ecuaciones de la tangente y las líneas normales (perpendiculares) en un punto dado de una curva, necesita saber dos cosas: 1.) la pendiente de la curva en el punto dado y 2.) un punto (x, y) que pasa cada línea. Una vez que conocemos esta información, podemos usarla para determinar la ecuación deseada para cada línea.

Podemos utilizar la información de pendiente y punto anterior para encontrar las ecuaciones deseadas conectando esta información en la forma de “pendiente de punto” de la ecuación de una línea recta, es decir, y – y1 = m (x – x1), donde m es la pendiente de la línea y (x1, y1) es un punto específico por el que pasa la línea. Sabemos que tanto las líneas tangentes como las normales pasan a través e intersectan en un punto dado (x1, y1) (un punto de tangencia) en la curva dada.

Para encontrar la pendiente de una curva y de la línea tangente a la curva en un punto dado (x1, y1) en la curva, necesitamos conocer la ecuación, y = f (x), que representa algebraicamente la curva dada y cuál define una función f. Una vez que sabemos y = f (x), podemos encontrar la derivada f ′ (x) de la función f. Gráficamente, la derivada f ‘(x) es la pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) de la curva, así como la pendiente de la línea tangente a la curva en el mismo punto (x, y), siempre que f ‘(x) existe; por lo tanto, la pendiente de una curva dada y de la línea tangente a la curva en un punto dado (x1, y1) en la curva viene dada por m = f ′ (x) = f ‘(x1), siempre que la derivada f ′ (x) en x = x1 existe.

Por lo tanto, la ecuación de una línea tangente a una curva en un punto dado (x1, y1) se encuentra de la siguiente manera:

y – y1 = m (x ‒x1)
y – y1 = [f ‘(x1)] (x – x1)

y – y1 + y1 = [f ‘(x1)] (x – x1) + y1
y + 0 = [f ‘(x1)] (x – x1) + y1

y = [f ‘(x1)] (x – x1) + y1

Sabemos que las pendientes de dos líneas perpendiculares son recíprocas negativas entre sí, es decir, si m es la pendiente de una, entonces la pendiente de la otra es igual a ‒1 / m, es decir, su producto, m (‒1 / m), es igual a ‒1.

Dado que la línea normal a una curva en un punto dado (x1, y1) también es la misma línea que es perpendicular a la línea tangente a la curva en el mismo punto (x1, y1), entonces la pendiente de la línea normal = – 1 / m = ‒1 / f ′ (x).

Por lo tanto, la ecuación de una línea normal (perpendicular) a una curva en un punto dado (x1, y1) se encuentra de la siguiente manera:

y – y1 = m (x ‒x1)

y – y1 = [‒1 / f ‘(x1)] (x – x1)

y – y1 + y1 = [‒1 / f ‘(x1)] (x – x1) + y1

y + 0 = [‒1 / f ‘(x1)] (x – x1) + y1

y = [‒1 / f ‘(x1)] (x – x1) + y1

Answer 5

Para la curva [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], en el punto [matemática] x = x_0 [/ matemática],

La ecuación de la tangente es –
[matemáticas] f ‘(x_0) x-y + f (x_0) -f’ (x_0) x_0 = 0 [/ matemáticas].

La ecuación de la línea normal es –
[matemáticas] x + f ‘(x_0) yf (x_0) f’ (x_0) -a = 0 [/ matemáticas].

Answer 6

Primero, tome la derivada de la curva en el punto dado. Esto da la pendiente de la línea tangente. Así que ahora solo necesitamos encontrar la intersección.

Podemos usar la ecuación y = m * x + b para nuestra línea tangente. Sabemos que la línea pasa por el punto de la curva. Llame a este punto (x0, y0). Sustituyendo estos valores y resolviendo para b, obtenemos b = y0 – m * x0.

Ahora tenemos la pendiente y la intersección de nuestra línea, y hemos terminado.