Álgebra: ¿Cuál es la forma más rápida de resolver manualmente una ecuación cuadrática?

Answer 1

Generalmente uso las fórmulas de Vieta, que dan las soluciones
[matemáticas] x_1 + x_2 = – \ frac {b} {a}, \ quad x_1 x_2 = \ frac {c} {a}, [/ matemáticas]
para una ecuación cuadrática de la forma
[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0. [/ matemáticas]

Primero lo simplifico a
[matemáticas] x ^ 2 + Bx + C = 0, [/ matemáticas]
para que las soluciones sean
[matemáticas] x_1 + x_2 = – B, \ quad x_1 x_2 = C. [/ matemáticas]
Ahora es simplemente una cuestión de encontrar los dos números cuya suma es [matemática] -B [/ matemática] y el producto es [matemática] C [/ matemática].

Por ejemplo, resolvamos
[matemáticas] x ^ 2 + 7x + 10 = 0. [/ matemáticas]
Necesitamos dos números cuya suma sea -7 y el producto sea 10. Es fácil ver que estos números son -2 y -5. Así
[matemáticas] x ^ 2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5). [/ matemáticas]

Answer 2

La forma más rápida, si es posible, es factorizar. Se necesita un poco de práctica, pero las ecuaciones seleccionadas se pueden resolver rápidamente de esta manera.

Desafortunadamente, hay muchos que no se pueden resolver de esta manera. Si no puede factorizarlo, tendrá que hacer una raíz cuadrada, sea cual sea el método que haga (fórmula cuadrática, completar el cuadrado). Ambos requerirán una calculadora a menos que la deje en forma exacta. (Sí, técnicamente puedes hacer raíces cuadradas a mano, pero no es exactamente práctico). Recomiendo una fórmula cuadrática.

Answer 3

Factorizaremos la expresión cuadrática: 2 x ² + 3 x – 5 para demostrar la técnica. Aquí están los pasos:

(a) Divida el primer término en dos factores con la variable en cada uno:

2 x ² = 2 x ´ x

(b) Divida el último término en dos factores:

-5 = -1 ´ 5

(c) Escriba los factores como este:

termino 1

término 3

2 x

-1

X

5 5

(d) Multiplique los factores en las esquinas opuestas y agregue las dos respuestas , estos pueden ser los dos factores para dividir el término medio:

termino 1

término 3

2 x

–

1

X

5 5

2 x ´

5 +

x ´

–

1 = 10x

–

X
= 9x

Si los dos productos se suman para dar el término medio, entonces la división es correcta. Pero en este caso, el término medio es 3x, no 9x.

No hemos elegido los factores correctos. VUELVA A INTENTAR … VOLVER AL PASO (c)

(c) Pruebe diferentes factores del término 3, o los mismos factores en un arreglo diferente:

termino 1

término 3

2 x

5 5

X

-1

(d) Multiplique los factores en las esquinas opuestas:

termino 1

término 3

2 x

5 5

X

–

1

Vea si los dos productos se suman para dar el término medio:

5 x

–

2 x = 3 x

¡Si! Así que hemos elegido los factores correctos, y la expresión cuadrática se puede escribir lista para ser factorizada, así:

2 x ² – 2 x + 5 x – 5

Los dos factores de la fila superior de la tabla: ‘2x’ y ‘5’ y los dos factores de la fila inferior de la tabla: ‘x’ y ‘-1’ en el paso (c) ahora dan la cuadrática factorizada inmediatamente:

termino 1

término 3

2 x

5 5

X

–

1

( x

–

1) (2 x + 5)

Answer 4

La fórmula cuadrática le dará una forma cerrada exacta para las soluciones a cualquier ecuación cuadrática en términos de operaciones algebraicas relativamente simples, como la suma, la multiplicación y la raíz. La fórmula es una consecuencia inmediata de “completar el cuadrado”. Suponga

x ^ 2 + px + q = 0

Considere la igualdad (x + r) ^ 2 + s = x ^ 2 + 2rx + r ^ 2 + s

Por simple comparación, podemos ver que si

r = p / 2, s = qr ^ 2 = qp ^ 2/4, entonces

(xp / 2) ^ 2 + (qp ^ 2/4) = 0

Que se puede resolver mediante las técnicas algebraicas básicas descritas:

x = p / 2 más o menos sqrt (qp ^ 2/4)

Sin embargo, a veces puede estar más interesado en aproximaciones numéricas a las soluciones, en cuyo caso puede usar el método Newton-Raphson o alguna modificación del mismo para aproximar la raíz a cualquier precisión inexacta deseada, si conoce algún cálculo.

Supongamos que quiero una raíz de f (x), alguna función de R a R.

La variante más básica del método Newton-Raphson comienza con un punto elegido x0, calcula la ecuación de la línea tangente a f (x) en x0, y encuentra dónde esta línea se cruza con el eje x. Luego usa la coordenada x de esta intersección como el punto desde el cual comenzar este proceso nuevamente. En resumen, se encuentra la siguiente ecuación recursiva:

x (n + 1) = x (n) -f (x (n)) / f ‘(x (n))

A medida que n crece, x (n) se aproximará a una raíz de f (x) siempre que se eviten anomalías particulares eligiendo x0 adecuadamente.

Por ejemplo, supongamos que quiero la raíz cuadrada de 10. Sé que esta es una raíz para f (x) = x ^ 2–10, y sé que es aproximadamente 3, así que elijo x0 = 3. Aplicando la recursión básica de Newton-Raphson,

x1 = 3 – (- 1) / 6 = 3 + 1/6

x2 = 3 + 1/6 – (- 1 + 1 + 1/36) / (2 (3 + 1/6)) = 3 + 1 / 6–1 / (12 * 19) = (después de algunos tediosos aunque muy posible cálculo manual) 3.162280…

Si calcula 10 ^ .5 usando una calculadora, encontrará 3.162277 …

Eso fue solo 2 iteraciones, y ya tiene una precisión de 4 decimales y bastante cerca del quinto. Para una raíz de primer orden, debe esperar duplicar el número de dígitos exactos con cada iteración. El método puede extenderse a dimensiones más altas y funciones complejas.

Answer 5

La fórmula cuadrática es el método más rápido que funciona fácilmente en todas las ecuaciones cuadráticas. Realmente es solo una generalización del método de completar el cuadrado mencionado por otras respuestas. Es como omitir los pasos intermedios para completar el cuadrado y simplemente saltar a la solución.

Answer 6

La forma más general de factorizar un cuadrático es usar la fórmula cuadrática. Funciona todo el tiempo. Aquí hay un tutorial:

La fórmula cuadrática explicada

Los problemas del mundo real casi siempre requerirán esto. Solo un pequeño subconjunto de problemas, “curados” por los maestros, se factorizan en partes agradables con coeficientes enteros. (Oh, ¿por qué pasan tanto tiempo en eso entonces? ¡Me refiero a años!)

Lo que un par de carteles están describiendo es un caso especial del método “magia x” o “diamante” para resolver los problemas agradables y curados. La primera vez que me encontré con esto fue como voluntario en una escuela secundaria el año pasado. Puedes encontrar un ejemplo aquí:

Método de diamante para factorizar polinomios

Answer 7

En general, la fórmula cuadrática.

En el caso de coeficientes enteros y raíces que son fracciones, use el teorema de la raíz racional, que es útil para cualquier grado polinomial de este tipo.

El teorema proporciona un pequeño conjunto de posibilidades para las raíces que son fracciones.

Si no van a ser fracciones, entonces es la fórmula uadratic porque son reales e irracionales, o son complejas, y es poco probable que calcules la respuesta más fácilmente por otro método.

Answer 8

Soy parcial para completar el cuadrado. Dividir por a, aislar la constante en un lado de la ecuación, (x + .5b) ^ 2 = constante + (. 5b) ^ 2, sacar la raíz cuadrada de ambos lados, restar (o sumar) .5b, ¡HECHO! Si tiene una calculadora gráfica, aquí hay un enlace a un programa que puede escribir.

Answer 9

La única forma segura de factorizar un polinomio es encontrar las raíces. De lo contrario, básicamente estás adivinando. Las formas “mágicas” de factorizar una ecuación cuadrática son básicamente adivinanzas glorificadas. Puede usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces, que es realmente rápida para números agradables: [math] r_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ math] y [matemática] r_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemática] y la factorización es solo [matemática] a (x-r_1) (x-r_2) [/matemáticas].

editar: olvidé un a como se menciona en los comentarios Esto ha sido corregido.

Answer 10

Una ecuación cuadrática se puede resolver de muchas maneras.

Visite el blog de Dharmesh para más información.

Answer 11

Answer 12

Fórmula Shri Dharacharya