¿Cómo es la ecuación de Schroedinger una ecuación de onda, si es solo el primer orden en el tiempo?

Answer 1

Realmente debería llamarse una ecuación de difusión imaginaria, no solo una ecuación de calor. Como señala Anon, sin eso [matemáticas] i [/ matemáticas] solo obtienes soluciones en descomposición.

(Tenga en cuenta que también obtiene soluciones en descomposición en la ecuación de Schrodinger, pero solo en lugares donde la energía cinética es menor que la energía potencial. Las zonas denominadas “clásicamente prohibidas”).

Sin embargo, tiene razón al notar que algo está mal acerca de que la ecuación de Schrodinger sea de primer orden a tiempo, a pesar de su dinámica ondulante. Volvamos a la analogía con la ecuación de calor.

La ecuación de calor desarrolla una distribución de temperatura inicial a una distribución de temperatura final a través de la difusión de energía cinética. La energía cinética es una cantidad conservada localmente, por lo que las soluciones a la ecuación del calor también deben ser soluciones a la ecuación de continuidad para la energía cinética.

Del mismo modo, el vector que desarrolla la ecuación de Schrodinger es una transformación no lineal (el cuadrado de la norma L2 o el valor absoluto al cuadrado) lejos de la distribución de probabilidad. Dado que la probabilidad también es una cantidad conservada localmente, las soluciones a la ecuación de Schrodinger también deben ser soluciones a la ecuación de continuidad para la probabilidad, pero la ecuación de continuidad es de primer orden en el tiempo, por lo que la ecuación de Schrodinger también debe ser de primer orden o habrá soluciones a la ecuación de Schrodinger que no fueron soluciones a la ecuación de continuidad. O, para usar el término técnico, la ecuación de Schrodinger no preservaría la Unitaridad (física) . Entonces la ecuación de Schrodinger debe ser de primer orden en el tiempo.

Un punto importante que surge de esto es que esto significa que la ecuación de Schrodinger es necesariamente una ecuación no relativista, debido al hecho de que el operador de energía cinética no es de primer orden en el espacio. Esto significa que la ecuación de Schrodinger no tiene (y no puede) tener el mismo orden en el tiempo que en el espacio. Como la transformación de Lorentz implica mezclar coordenadas de espacio y tiempo, la ecuación de Schrodinger no es invariante de Lorentz.

Este fue el problema que Dirac estaba superando cuando se le ocurrió la ecuación de Dirac. Sabía que la ecuación tenía que ser de primer orden a tiempo para ser unitaria, por lo que también tenía que ser de primer orden en el espacio, para ser relativista.

Answer 2

Todo cambia debido al factor [matemático] i [/ matemático] que aparece en el lado izquierdo con la derivada del tiempo: es la ecuación de calor pero con un tiempo imaginario y una solución que es un número complejo, por lo que no es parabólico PDE, como la ecuación de calor es.

Esa clasificación, que existe para las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden con valor real no se aplica a la ecuación de Schrödinger.

Tiene soluciones valoradas complejas que son oscilatorias en el tiempo y el espacio cuando las soluciones no son estados unidos, o en una región clásicamente no permitida, por lo que, en muchos sentidos, la ecuación se parece más a la ecuación de onda que a la ecuación de calor.

Answer 3

En realidad, Schrödinger primero derivó lo que ahora se conoce como la ecuación de Klein-Gordon:
[matemáticas] (\ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} – \ nabla ^ 2) \ psi + \ frac {m ^ 2 c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ psi = 0 [/ matemática].
Lo descartó porque tenía soluciones con energía negativa, pero la ecuación de KG se utilizó más tarde en la mecánica cuántica relativista con las soluciones negativas correspondientes a las antipartículas.

Answer 4

Con la ecuación de calor obtienes soluciones exponencialmente en descomposición. La ecuación de Schrodinger tiene un factor de [matemática] i [/ matemática] sobre la ecuación de calor, por lo que obtienes soluciones que son imaginarias exponenciales, en otras palabras, senos y cosenos.

Answer 5

La ecuación de Schroedinger es básicamente una ecuación de difusión que utiliza tiempo imaginario.

Puede imaginarse tomando una ecuación de difusión ordinaria y analíticamente tiempo continuo en un plano de tiempo complejo. La ecuación de Schroedinger es solo el comportamiento de esta ecuación de difusión analíticamente continua a lo largo del eje puramente imaginario.

De manera similar, puede tomar un tipo típico de solución para una ecuación de difusión que podría parecerse un poco (donde t es el tiempo):

exp (en)

Ahora cambiando al tiempo imaginario que obtienes:

exp (iat) = cos (at) + i * sin (at)

Esta es claramente la ecuación de una onda.

Alternativamente, puede comenzar con la ecuación de Schroedinger y continuar analíticamente el tiempo hasta el plano complejo y descubrir que una ecuación de difusión se encuentra a lo largo del eje del tiempo imaginario.

Answer 6

Separe [math] \ psi = \ psi_r + i \ psi_i [/ ​​math] y escriba el LS como un sistema de ecuaciones [math] 2 \ times 2 [/ math] en las funciones reales [math] \ psi_r, \, \ psi_i [/ ​​matemáticas]. Es un sistema hiperbólico, lo que significa que usando un poco de álgebra puedes transformarlo en una ecuación de onda de segundo orden.