¿Cuál es la diferencia entre el grado y el orden de una ecuación diferencial?

Al contrario de lo que se ha mencionado en las otras dos respuestas ya existentes, me gustaría mencionar algunos puntos cruciales sobre el orden y el grado de las ecuaciones diferenciales.

Este tema, es decir, el orden y el grado de la ecuación diferencial no es tan trivial como a menudo se proyecta en la mayoría de los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria al evitar ciertos aspectos matemáticos más finos.

Entonces, comencemos por definir convencionalmente qué es un orden y un grado y luego descubramos dónde tropezamos según esa definición.

Definición..

ORDEN : El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta involucrada en la ecuación.

GRADO: El grado de una ecuación diferencial, cuyos coeficientes diferenciales están libres de radicales y fracciones, es el índice integral positivo de la potencia más alta de los derivados de orden más altos involucrados.

Por ejemplo, en la siguiente ecuación,

[matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} + 3 \ frac {dy} {dx} + 2y = 0 [/ matemáticas]

Orden: 2, grado: 1.

Así, la ecuación anterior es de segundo orden y primer grado.

Entonces, ¿dónde está la definición incorrecta o incompleta?

Déjame decirte que, aunque la definición de orden anterior está completa, ¡eso no es el grado!

Permítanme ilustrar eso con la ayuda de otro ejemplo.

¿Puede usted, según la definición de grado anterior, determinar el grado de la siguiente ecuación diferencial?

[matemáticas] \ large \ boxed {\ sin \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) + e ^ {5 \ frac {dy} {dx}} – 3 \ cos \ left (x ^ {3} \ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}} \ right) = 0} [/ math]

No puedes

Estrictamente hablando, la definición de grado , como he sugerido o a la que estamos acostumbrados, no es impresionante y carece de precisión matemática.

De hecho, me gustaría enfatizar en este punto que se puede hablar sobre el grado de una ecuación diferencial cuando se puede expresar como un polinomio en las derivadas, es decir, cuando el DE se puede expresar como la suma de un número finito de términos equivalentes a 0, donde cada término es un producto finito de la forma [matemáticas] f (x, y) \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ {n_ {1}} \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) ^ {n_ {2}}… [/ math], [math] f (x, y) [/ math] es la función de x, y ( puede ser una constante o simplemente una función de x, y solamente, pero no involucra derivados) y [math] n_ {1}, n_ {2}, … [/ math] son enteros no negativos (siempre que, por supuesto, sobrevive al menos una derivada de algún orden en al menos uno de esos términos).

Por ejemplo,

[matemáticas] x \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) ^ {3} \ frac {dy} {dx} -5e ^ {x} \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) + ylog (x) = 0 [/ math] y

[matemáticas] 2logx \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ {2} + 7cosx \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) ^ {4 } \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ {7} + xy = 0 [/ math] son DE expresados ​​en polinomios en derivados (que evidentemente son de grado 3 y 4 respectivamente)

Por lo tanto, es muy importante tener en cuenta que el concepto de grado no se puede atribuir a todas las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo,

[matemáticas] e ^ {\ frac {dy} {dx}} + \ sin \ left (x \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) + \ cos \ left (\ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}} \ right) + 7xy = 0 [/ math] no tiene grado.

Es una tarea extremadamente difícil, más aún a ese nivel, concluir si una ecuación diferencial dada puede expresarse como un polinomio en las derivadas involucradas.

Por lo tanto, es extremadamente importante tener en cuenta este punto.

Espero haber sido claro en mi enfoque.

¡Gracias por leer y seguir explorando esta hermosa asignatura de matemáticas es divertido! 🙂

El orden es la derivada numerada más alta en la ecuación, mientras que el grado es la potencia más alta a la que se eleva una derivada.

Por ejemplo: y ” + y ‘= y es una ecuación diferencial de segundo orden de primer grado, mientras que (y’) ^ 2 = y es una ecuación diferencial de primer orden de segundo grado.

Considere las siguientes ecuaciones diferenciales

(d ^ 2x / dy ^ 2) ^ 2 + (dx / dy) = 0 …… .. (1)

(dx / dy) = 0 …………………………… (2)

(d ^ 2x / dy ^ 2) …………………………. (3)

(d ^ 2x / dy ^ 2) ^ 2 + (dx / dy) ^ 3 = 0 …… (4)

En la ecuación (1) el orden es 2 y el grado es 2.

En la ecuación (2) el orden es 1 y el grado es 1.

En la ecuación (3) el orden es 2 y el grado es 1.

En la ecuación (4) el orden es 2 y el grado es 2.

En palabras simples, el orden es la derivada más alta de la variable dependiente con respecto a la variable independiente y el grado es la potencia más alta a la que se eleva la derivada de orden más alto en la ecuación diferencial.

El orden de una ecuación diferencial se refiere a su derivada de orden más alto. Por ejemplo…

[matemáticas] y ” + y ‘+ y = f (x) [/ matemáticas]

Esta sería una ecuación diferencial de segundo orden.

El grado se referiría al grado más alto presente, muy parecido a un polinomio …

[matemáticas] (y ‘) ^ 3x = y [/ matemáticas]

Esto sería de tercer grado, pero solo de primer orden.

A2A, gracias.

En referencia a ODE, solo he visto “orden”.

Sin embargo, en general, el orden (número de filas) de una matriz cuadrada es igual al grado del polinomio característico de esa matriz. Entonces, puedo ver cómo uno puede usar los términos indistintamente porque corresponden a la misma cantidad.