Al contrario de lo que se ha mencionado en las otras dos respuestas ya existentes, me gustaría mencionar algunos puntos cruciales sobre el orden y el grado de las ecuaciones diferenciales.
Este tema, es decir, el orden y el grado de la ecuación diferencial no es tan trivial como a menudo se proyecta en la mayoría de los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria al evitar ciertos aspectos matemáticos más finos.
Entonces, comencemos por definir convencionalmente qué es un orden y un grado y luego descubramos dónde tropezamos según esa definición.
Definición..
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ORDEN : El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta involucrada en la ecuación.
GRADO: El grado de una ecuación diferencial, cuyos coeficientes diferenciales están libres de radicales y fracciones, es el índice integral positivo de la potencia más alta de los derivados de orden más altos involucrados.
Por ejemplo, en la siguiente ecuación,
[matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} + 3 \ frac {dy} {dx} + 2y = 0 [/ matemáticas]
Orden: 2, grado: 1.
Así, la ecuación anterior es de segundo orden y primer grado.
Entonces, ¿dónde está la definición incorrecta o incompleta?
Déjame decirte que, aunque la definición de orden anterior está completa, ¡eso no es el grado!
Permítanme ilustrar eso con la ayuda de otro ejemplo.
¿Puede usted, según la definición de grado anterior, determinar el grado de la siguiente ecuación diferencial?
[matemáticas] \ large \ boxed {\ sin \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) + e ^ {5 \ frac {dy} {dx}} – 3 \ cos \ left (x ^ {3} \ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}} \ right) = 0} [/ math]
No puedes
Estrictamente hablando, la definición de grado , como he sugerido o a la que estamos acostumbrados, no es impresionante y carece de precisión matemática.
De hecho, me gustaría enfatizar en este punto que se puede hablar sobre el grado de una ecuación diferencial cuando se puede expresar como un polinomio en las derivadas, es decir, cuando el DE se puede expresar como la suma de un número finito de términos equivalentes a 0, donde cada término es un producto finito de la forma [matemáticas] f (x, y) \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ {n_ {1}} \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) ^ {n_ {2}}… [/ math], [math] f (x, y) [/ math] es la función de x, y ( puede ser una constante o simplemente una función de x, y solamente, pero no involucra derivados) y [math] n_ {1}, n_ {2}, … [/ math] son enteros no negativos (siempre que, por supuesto, sobrevive al menos una derivada de algún orden en al menos uno de esos términos).
Por ejemplo,
[matemáticas] x \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) ^ {3} \ frac {dy} {dx} -5e ^ {x} \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) + ylog (x) = 0 [/ math] y
[matemáticas] 2logx \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ {2} + 7cosx \ left (\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) ^ {4 } \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ {7} + xy = 0 [/ math] son DE expresados en polinomios en derivados (que evidentemente son de grado 3 y 4 respectivamente)
Por lo tanto, es muy importante tener en cuenta que el concepto de grado no se puede atribuir a todas las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo,
[matemáticas] e ^ {\ frac {dy} {dx}} + \ sin \ left (x \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} \ right) + \ cos \ left (\ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}} \ right) + 7xy = 0 [/ math] no tiene grado.
Es una tarea extremadamente difícil, más aún a ese nivel, concluir si una ecuación diferencial dada puede expresarse como un polinomio en las derivadas involucradas.
Por lo tanto, es extremadamente importante tener en cuenta este punto.
Espero haber sido claro en mi enfoque.
¡Gracias por leer y seguir explorando esta hermosa asignatura de matemáticas es divertido! 🙂