Tengo una ecuación vectorial: si [matemática] k \ veces A = B [/ matemática] donde A y B son vectores y ‘x’ significa un producto cruzado. Si se conocen k y B, ¿cómo encuentro los componentes de A?

Answer 1

para Q1: cualquier cruz de vector en sí misma es cero

así que tome un vector de primera base

v1 = (1,2,1)

y ahora elige dos vectores v2, v3 ortogonales a v1
p.ej

v2 = (1, -1,1) (desde v1.v2 = 0)
v3 = (-1,0,1) (desde v1.v3 = 0 y v2.v3 = 0)

Luego puede escribir el vector v = a * v1 + b * v2 + c * v3 porque v1, v2, v3 son una base completa

entonces el problema es v1 x (a * v1 + b * v2 + c * v3) = (3,1, -5)

v1 x v1 = 0, por lo que ‘a’ puede tomar cualquier valor
Tienes que resolver las ecuaciones para encontrar los valores específicos de byc, por ejemplo
resolver

b (v1 x v2) + c (v1 x v3) = (3,1, -5)

pero esto es sencillo ya que sabes v1, v2, v3. Obtiene tres ecuaciones simultáneas en dos variables, para ‘b’ y ‘c’. Supongo que para Q1 las tres ecuaciones se resuelven con un valor específico de ‘b’ y ‘c’, mientras que para la parte 2 no hay una solución simultánea de las tres ecuaciones.

Answer 2

Si [math] \ vec {A} = \ vec {A} _0 [/ math] es una solución, entonces también lo es [math] \ vec {A} = \ vec {A} _0 + t \ vec {k} [ / math] para cualquier [math] t \ in \ mathbb {R} [/ math]. Por lo tanto, no hay una solución única.

Deje [math] \ vec {k} = (k_1, k_2, k_3) [/ math], [math] \ vec {A} = (A_1, A_2, A_3) [/ math] y [math] \ vec { B} = (B_1, B_2, B_3) [/ matemáticas].

Como [math] \ vec {k} \ times \ vec {A} [/ math] [math] = (k_2 A_3 – k_3 A_2, k_3 A_1 – k_1 A_3, k_1 A_2 – k_2 A_1) [/ math], tenemos El siguiente sistema de ecuaciones:

[matemáticas] 0 A_1 – k_3 A_2 + k_2 A_3 = B_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] k_3 A_1 + 0 A_2 – k_1 A_3 = B_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] -k_2 A_1 + k_1 A_2 + 0 A_3 = B_3 [/ matemáticas]

Si suponemos que [math] \ vec {k} \ perp \ vec {A} [/ math], entonces tenemos la ecuación adicional:

[matemáticas] k_1A_1 + k_2A_2 + k_3A_3 = 0 [/ matemáticas].

Si se proporciona [matemática] \ vec {k} \ neq \ vec {0} [/ matemática], entonces la elección de dos de las tres primeras ecuaciones junto con la cuarta le dará un sistema 3 × 3 que se puede resolver.

Esto debería darle lo que necesita resolver para [math] \ vec {k} [/ math].

Answer 3

Primero enfóquese en el caso donde [math] k [/ math] y [math] B [/ math] tienen unidades de longitud.

Tenga en cuenta que [math] B = k \ times A [/ math] tiene que ser perpendicular a [math] k [/ math] (de lo contrario no tenemos solución) y, por lo tanto, [math] k [/ math], [math] B [/ math] y [math] k \ times B [/ math] forma una base ortonormal. Expresar A por
[matemáticas] A = \ alpha k + \ beta B + \ gamma (k \ veces B) [/ matemáticas]
Entonces nosotros tenemos
[matemáticas] B = k \ veces A = \ beta (k \ veces B) + \ gamma (k \ veces (k \ veces B)) [/ matemáticas],
Tenga en cuenta que [matemática] k \ veces (k \ veces B) = -B [/ matemática]. Podemos ver esto al notar que el vector tiene una unidad de longitud, y
[matemática] B \ cdot (k \ times (k \ times B)) = (k \ times B) \ cdot (B \ times k) [/ math] (por producto Triple)
[matemáticas] = -1 [/ matemáticas]

Por lo tanto
[matemáticas] B = \ beta (k \ veces B) – \ gamma B [/ matemáticas],
lo que significa que [matemática] \ alpha [/ matemática] es arbitraria, [matemática] \ beta = 0 [/ matemática] y [matemática] \ gamma = -1 [/ matemática], lo que da
[matemáticas] A = \ alpha k – (k \ veces B) [/ matemáticas].

Si [math] k [/ math] y [math] B [/ math] no tienen unidades de longitud (y no son cero, de lo contrario es trivial), podemos reescribir la ecuación [math] k \ times A = B [/ matemáticas] a
[matemáticas] \ frac {k} {\ Vert k \ Vert} \ times \ left (\ frac {\ Vert k \ Vert} {\ Vert B \ Vert} A \ right) = \ frac {B} {\ Vert B \ Vert} [/ matemáticas]
entonces hemos reducido el problema al caso donde [math] k [/ math] y [math] B [/ math] tienen unidades de longitud.

Answer 4

No sé si hay un buen atajo, pero para la primera parte puedes resolver la forma general de: [matemáticas]
\ begin {pmatrix} 1 \\\\
2 \\\\
1
\ end {pmatrix}
\veces
\ begin {pmatrix} v_1 \\\\
v_2 \\\\
v_3
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Establecer este igual a [matemáticas]
\ begin {pmatrix} 3 \\\\
1 \\\\
-5
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
te da tres ecuaciones simultáneas para resolver.

En cuanto a la segunda parte, podrías hacer lo mismo y descubrir que tus ecuaciones son irresolubles. Una mejor respuesta proviene de considerar el significado geométrico del producto cruzado. Considere específicamente el hecho de que el vector del producto es perpendicular a los otros dos.

Answer 5

Hagamos esto geométricamente en lugar de escribir ecuaciones.

Si [math] k \ times A = B [/ math], entonces B es un vector perpendicular al plano atravesado por k y A. Así que considere el plano P a través del origen que es perpendicular a B. Suponiendo que haya alguna solución en todos, entonces k yace en este plano. Entonces, para cualquier dirección en este plano que no sea paralela a k, hay una solución para A; solo tenemos que calcular la longitud.

Si queremos considerar que todas las direcciones en este plano no son paralelas a k, y de tal manera que [matemática] k \ veces A [/ matemática] y B no miran en direcciones opuestas, deberíamos considerar los ángulos [matemática] 0 <\ theta <\ pi [/ math]. Si tomamos cualquier A que sea un ángulo theta de k, entonces [math] k \ times A [/ math] será paralelo a B, como ya hemos visto, así que solo tenemos que elegir la longitud de B que la ecuación funciona.

Tomando longitudes en ambos lados, tenemos

[matemáticas] || k || \ cdot || A || \ cdot \ sin \ theta = || B || [/ math]

entonces nuestra solución es

[matemáticas] || A || = \ frac {|| B ||} {|| k || \ cdot \ sin \ theta} [/ math]

Bien, ahora, ¿qué significa esto? Bueno, la ecuación polar [matemática] r = C / \ sin \ theta [/ matemática] representa la línea recta [matemática] x = C [/ matemática], como podemos ver simplemente moviendo el seno al otro lado, entonces los extremos de los vectores que satisfacen esta ecuación se encuentran a lo largo de una línea recta en el plano P que está a una distancia [matemática] || B || / || k || [/ matemática] desde el origen.

Me gusta este enfoque mejor que los otros aquí porque puedes hacer todo en tu cabeza sin escribir nada.

También podría llegar a una explicación que explicara naturalmente por qué los extremos de los vectores forman una línea recta (implícita en la respuesta de Santhosh Karnik) y esta también es una perspectiva vital.

Si algo de esto no le resulta claro, es una señal de que debe regresar y comprender realmente lo que está sucediendo geométricamente con productos cruzados, líneas y planos en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. En este tipo de matemática en particular, es demasiado fácil quedar atrapado en hacer cálculos y perder de vista lo que significan, en cuyo caso terminarás siendo capaz de resolver las ecuaciones de otras personas pero no podrás encontrar la tuya cuando necesitas.