No soy fanático de tales concursos, pero no puedo resistir el A2A (no es la recompensa, es saber que alguien quiere que responda). Entonces, daré una especie de respuesta, pero trataré principalmente de explicar algo sobre cómo juzgo las ecuaciones y otras cosas.
Tomaré la identidad de Euler como ejemplo.
Mire, me gusta [matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas] tanto como la siguiente persona. Es elegante y dulce. Pero sospecho que muchas personas que dicen que les encanta realmente están reaccionando a su tipografía: “¡Vaya, contiene cinco de las constantes más fundamentales en matemáticas!” – sin necesariamente entender lo que dice, por qué es verdad y qué tan profundo es. La verdad es que en realidad no es muy profunda, y no revela mucho que sea sorprendente o interesante. Se sigue casi directamente de las definiciones; Digo “casi” porque cuán directamente depende de la ruta tomada para definir a los diferentes participantes. En algunos caminos, es totalmente trivial (considere que [math] \ pi [/ math] se define como el número que lo hace correcto en el Análisis Real y Complejo de Rudin , p. 3); en otros, es un esfuerzo que requiere unas pocas líneas y un diagrama (ver, por ejemplo, la prueba puramente elemental en Numbers de Conway y Guy, p. 255).
Es bonito, pero su belleza es superficial.
- ¿Cómo encuentras la ecuación de una línea tangente / normal de una curva en un punto dado?
- ¿Es posible establecer con precisión la mayoría de las leyes de la física con algunas ecuaciones?
- Aprendemos y resolvemos muchas ecuaciones usando herramientas matemáticas como cálculo, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones diferenciales, álgebra, etc. En la vida real, ¿hay alguna situación en la que pueda aplicar las ecuaciones?
- Tengo una ecuación vectorial: si [matemática] k \ veces A = B [/ matemática] donde A y B son vectores y ‘x’ significa un producto cruzado. Si se conocen k y B, ¿cómo encuentro los componentes de A?
- ¿Existe una derivación bastante completa de los depósitos electrónicos a partir de la ecuación de Schrodinger (o la ecuación de Dirac)?
¿Qué no es superficial? Aquí hay una muestra de fórmulas realmente impresionantes y hermosas.
- Sea [math] r_4 (n) [/ math] el número de formas de expresar el número natural [math] n [/ math] como la suma de cuatro cuadrados enteros. Entonces [math] r_4 (n) = 8 \ sum_ {d | n, 4 \ not | d} d [/ math] (la suma de los divisores de [math] n [/ math] que no son divisibles por 4) . Ambos lados de esta ecuación son fáciles de definir y de comprender, pero ver por qué son iguales es un desafío intelectual profundo y gratificante. Este es el teorema de cuatro cuadrados de Jacobi y generalmente se prueba utilizando funciones modulares. Las formas modulares y las funciones theta son responsables de una sorprendente variedad de fórmulas profundas, demasiadas para enumerarlas aquí o elegir un “ganador”.
- El teorema del índice Atiyah-Singer es una igualdad entre dos cosas que no tienen por qué ser iguales entre sí. No podré escribirlo todo aquí, y solo entiendo realmente ciertas piezas, pero es un triunfo de las matemáticas modernas y un resultado verdaderamente profundo. Es ridículo escribir una ecuación sin explicar sus ingredientes, pero dado que la pregunta es pedir ecuaciones, aquí hay una forma de formular el teorema como una ecuación: [matemática] \ mbox {ind} D_E = \ int_M \ hat {A} ( M, g) \ mbox {ch} ^ {E / \ mathbb {S}} (E / \ mathbb {S}) [/ math].
- No creo que el procesador LaTeX de Quora pueda manejarlo, pero desearía poder escribir cualquiera de las increíbles fórmulas integrales de Kontsevich para los invariantes de nudos y la miríada de identidades que implican. Considere solo la igualdad de las dos integrales definidas en la sección 0 de su artículo Vasiliev’s Knot Invariants.
- La ecuación funcional de la función zeta de Riemann es sorprendente, no trivial y extremadamente importante: inicia toda una rama de las matemáticas. A menudo se escribe como [math] \ xi (s) = \ xi (1-s) [/ math] donde la diversión está empaquetada en la definición de la función [math] \ xi [/ math], que es [math ] \ xi (s) = \ frac {s (s-1)} {2} \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma (s / 2) \ zeta (s) [/ math].
- [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n! e ^ n} {n ^ {n + 1/2}} = \ sqrt {2 \ pi} [/ math]. Esta es una identificación milagrosa de la constante precisa que relaciona asintóticamente la función factorial con su aproximación más útil. El valor preciso de [math] \ sqrt {2 \ pi} [/ math], honestamente, no es muy importante, pero su expresión en forma cerrada es ligeramente impactante. Las aproximaciones de Stirling son realmente útiles y, aunque no son tremendamente profundas, no son triviales y su prueba es útil para dominar.
Mi ecuación matemática favorita es una combinación lineal de esos cinco.
