¿Cuáles son las ecuaciones eikonales y cómo se derivan?

Answer 1

El eikonal de una onda es, más o menos, una función escalar, por ejemplo, [math] \ psi (x, t) [/ math] que corresponde a su fase. Suponiendo que estamos discutiendo la óptica geométrica, y el índice de refracción en un punto en el espacio está dado por [math] n (\ mathbf {x}) [/ math], la ecuación eikonal es

[matemáticas] | \ nabla \ psi | = n. [/matemáticas]

La “derivación” es la siguiente. La ecuación de onda verdadera viene dada por, suponiendo que las ondas son de una función escalar de valores complejos [matemática] u [/ matemática],

[matemáticas] \ frac {n ^ 2} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} – \ nabla ^ 2 u = 0 [/ math]

pero dado que el índice de refracción depende de la posición, esto, en general, no tendrá una solución exacta. Pero si solo estamos interesados ​​en cómo se propaga la luz de una frecuencia constante [matemática] \ omega [/ matemática] y una longitud de onda muy pequeña (es decir, [matemática] \ lambda ^ {- 1} \ gg | \ nabla n | [/ matemática ]), entonces podemos escribir la función de valores complejos en forma polar

[math] u = A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ omega \ psi / c} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} [/ math],

asumir [matemáticas] | \ nabla A | \ ll | \ psi | [/ math] y mantén solo el término principal en la ecuación de onda. Esto lleva a

[matemáticas] 0 = \ left [- \ frac {n ^ 2 \ omega ^ 2} {c ^ 2} – \ mathrm {i} ^ 2 | \ nabla \ psi | ^ 2 \ frac {\ omega ^ 2} { c ^ 2} \ right] A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ omega \ psi / c} + \ mathrm {O} \ left (\ nabla A \ right). [/matemáticas]
Así, al orden más bajo, obtenemos la ecuación eikonal después de sacar la raíz cuadrada. Así es como se deriva.

Las soluciones típicas se realizan mediante “trazado de rayos” como se describe en el artículo de Wikipedia.