¿Cuál es la ecuación más larga conocida?

Answer 1

Un ejemplo famoso en el cálculo de la función restante de la amplitud de Super Yang-Mills. Encontraron una expresión de 17 páginas contenida en un archivo de texto que puede descargar en
[0911.5332] Un resultado analítico para el bucle Wilson de dos bucles del hexágono en N = 4 SYM
Esto puede parecer muy impresionante, pero la longitud de una ecuación no es realmente una noción invariable, lo que significa que puede reescribir la ecuación en términos más simples mediante el uso de diferentes notaciones.

Esto es precisamente lo que sucedió arriba. Más tarde se mostró en
[1105.2024] Símbolos de integrales de un bucle de motivos mixtos de Tate
ser igual a una expresión muy simple a través del uso de las matemáticas modernas conocidas como teoría del motivo (búscalo en Wikipedia y ríete).

La historia del artículo anterior es bastante divertida. Marcus Spradlin y Anastasia Volovich miraron el documento anterior y vieron toneladas de estas funciones conocidas como pollogaritmos de Goncharov. Fueron a Wikipedia y dijeron: “¿eh, el Sr. Goncharov está en Brown, donde estamos nosotros?” Fueron y llamaron a su puerta y le preguntaron “¿y qué pasa con estos policlogaritmos de Goncharov?” Después de unos minutos, dijo: “No creo que haya ningún pollogaritmo no clásico, si reescribes esto usando el” símbolo “, verás que estas enormes expresiones se simplifican a un término”. Respondieron con “Uh, ¿qué es un” símbolo? ”

Este paso ayudó a reunir un campo de la matemática moderna y la física teórica. Se cree que pronto, gracias a la extensión de este trabajo (dirigido principalmente por Nima Arkani-Hamed), AdS-CFT puede ser probado desde los primeros principios.

Answer 2

Probablemente esta no sea la ecuación más larga, pero el Lagrangiano para el modelo estándar (que describe todos los procesos físicos observados, sin gravedad, dada la localidad, la causalidad, la invariancia de Lorentz y los datos físicos conocidos desde 1860) es moderadamente largo:
(TeXified por TD Gutiérrez de un apéndice en Diagrammatica de Martinus Veltman: http://nuclear.ucdavis.edu/~tgut …)

Answer 3

Esta es una pregunta difícil de responder de manera significativa. En primer lugar, cualquier igualdad puede alargarse sin limitarse añadiéndole identidades. En segundo lugar, puede haber formas equivalentes de escribir algo, algunas más compactas que otras. Muchas veces, si alguna operación resulta útil, se define una nueva notación compacta para que las ecuaciones se vuelvan más compactas.

Aquí hay un buen ejemplo: en el lenguaje de las formas diferenciales, las ecuaciones de Maxwell se escriben como
[matemáticas]
F = dA
[/matemáticas]
[matemáticas]
dF = 0
[/matemáticas]
[matemáticas]
d \ star F = \ star J
[/matemáticas]
donde de hecho la segunda igualdad no es necesaria debido a la identidad [matemática] d ^ 2 = 0 [/ matemática]. En notación tensora abstracta, estas ecuaciones se expanden a
[matemáticas]
F_ {ab} = 2 \ nabla _ {[a} A_ {b]}
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ nabla _ {[a} F_ {bc]} = 0
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ nabla_a F ^ a {} _ b = J_b
[/matemáticas]
donde en lo anterior, la notación compacta adicional se ha utilizado para simplificar las cosas: los corchetes significan índices antisimetrizantes, y la derivada covariante [math] \ nabla_a [/ math] está relacionada con una derivada plana [math] \ partial_a [/ math] y una conexión [matemática] \ Gamma ^ b {} _ {ac} [/ matemática]. Ahora, realizando una descomposición 3 + 1 (aquí en espacio-tiempo plano) las ecuaciones de Maxwell se descomponen como
[matemáticas]
\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ nabla \ cdot \ vec {E} = 4 \ pi \ rho
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} = – \ nabla \ times \ vec {B}
[/matemáticas]
[matemáticas]
\ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} = + \ nabla \ times \ vec {B} – 4 \ pi \ vec {J}.
[/matemáticas]
En lo anterior, hay una notación aún más compacta: la divergencia se define como
[matemáticas]
\ nabla \ cdot \ vec {v} = \ frac {\ partial v ^ i} {\ partial x ^ i}
[/matemáticas]
y el rizo se define como
[matemáticas]
\ left (\ nabla \ times \ vec {v} \ right) ^ i = \ epsilon ^ {ijk} \ frac {\ partial v ^ k} {\ partial x ^ j}.
[/matemáticas]
En lo anterior, se ha utilizado una notación aún más compacta, a saber, la convención de suma de Einstein. Escrito en componentes, la divergencia es
[matemáticas]
\ nabla \ cdot \ vec {v} = \ frac {\ partial v ^ x} {\ partial x} + \ frac {\ partial v ^ y} {\ partial y} + \ frac {\ partial v ^ z} { \ parcial z}
[/matemáticas]
y rizo se define como
[matemáticas]
\ left (\ nabla \ times \ vec {v} \ right) ^ z = \ frac {\ partial v ^ y} {\ partial x} – \ frac {\ partial v ^ x} {\ partial y}
[/matemáticas]
y de manera similar para los otros dos componentes.

Como puede ver, la notación extremadamente compacta y poderosa
[matemáticas]
dF = 0
[/matemáticas]
[matemáticas]
d \ star F = \ star J
[/matemáticas]
se expande a un gran conjunto de ecuaciones componentes, pero tienen el mismo contenido , por lo que no es muy significativo que las ecuaciones en los componentes sean mucho más largas que en términos de formas diferenciales.

Como otro ejemplo, Elson Liu respondió con una forma explotada del Modelo Lagrangiano Estándar. Sin embargo, se puede escribir de manera mucho más compacta:
[matemáticas]
L = L_ {YM} + L _ {\ mathrm {Higgs}} + L _ {\ mathrm {lep.}} + L _ {\ mathrm {qrk.}} + L _ {\ mathrm {Yuk.}}
[/matemáticas]
dónde
[matemáticas]
L_ {YM} = – \ frac {1} {4} \ mathrm {Tr} F ^ {ab} F_ {ab}
[/matemáticas]
[matemáticas]
L _ {\ mathrm {Higgs}} = – (D ^ a \ phi ^ \ dagger) (D_a \ phi) + \ frac {1} {4} \ lambda (\ phi ^ \ dagger \ phi- \ frac {1} {2} v ^ 2) ^ 2
[/matemáticas]
[matemáticas]
L _ {\ mathrm {lep.}} = I \ ell ^ \ dagger_I \ not {\! \! D} \ ell_I + i \ bar {e} ^ \ dagger_I \ not {\! \! D} \ bar {e }_YO
[/matemáticas]
[matemáticas]
L _ {\ mathrm {qrk.}} = Iq ^ \ dagger_I \ not {\! \! D} q_I + i \ bar {u} ^ \ dagger_I \ not {\! \! D} \ bar {u} + i \ bar {d} ^ \ dagger_I \ not {\! \! D} \ bar {d} _I
[/matemáticas]
[matemáticas]
L _ {\ mathrm {Yuk.}} = -Y_ {IJ} \ phi \ ell_I \ bar {e} _J -y ‘_ {IJ} \ phi q_I \ bar {d} _J
[/matemáticas]
[matemáticas]
-y ” _ {IJ} \ phi ^ \ dagger q_I \ bar {u} _J + hc
[/matemáticas]
y especificando que F es la curvatura en el grupo de indicadores [matemática] G \ simeq SU (3) \ otimes SU (2) \ otimes U (1) [/ matemáticas], [matemáticas] D_a [/ matemáticas] es la covariante del indicador derivada en G, [math] \ not {\! \! D} [/ math] es el operador de Dirac covariante de calibre en G, y especifica las representaciones de los campos: el escalar [math] \ phi [/ math] en el rep (1,2, -1 / 2), y los fermiones [math] \ ell [/ math] en el rep (1,2, -1 / 2), [math] \ bar {e} [/ math] en (1,1, + 1), [matemática] q [/ matemática] en (3,2, + 1/6), [matemática] \ bar {u} [/ matemática] en [matemática] (\ bar { 3}, 1, -2 / 3) [/ math] y [math] \ bar {d} [/ math] en [math] (\ bar {3}, 1, + 1/3) [/ math] ; donde I es un índice de generación que supera 1,2,3 y donde todo lo demás es una constante.

Answer 4

Como otros han escrito, ¡es posible que los humanos generen ecuaciones cada vez más complejas, pero aún así correctas, sin límites!

Es interesante pensar en lo que significa conocer una ecuación … podemos escribir ecuaciones increíblemente complejas, e incluso probar su corrección, especialmente con la ayuda de computadoras, y podemos usar esas ecuaciones … pero en qué punto nos detenemos realmente entendiendo lo que significan?

Aquí hay un ejemplo del Capítulo 4 de mi tesis doctoral en física, en la que discutí las propiedades ópticas de las capas de grafeno en un sustrato.

Utilicé el método de matriz de transferencia para estudiar el contraste de materiales de múltiples capas. Introduje el concepto con un diagrama bastante simple que marca las amplitudes complejas de las ondas de luz que viajan en dos direcciones diferentes cerca de las superficies izquierda y derecha en la enésima capa de un material multicapa:

Y a partir de esta imagen y algunas definiciones básicas, deduje un par de ecuaciones que relacionan las amplitudes complejas de las ondas izquierda y derecha:

Y a partir de ahí, con algunas sustituciones y definiciones más, deduje la matriz de transferencia de una sola capa en una forma que me resultó conveniente para trabajar:

Hasta este punto, diría que entiendo estas ecuaciones, ¡o al menos lo hice hace 5 años, cuando estaba trabajando en escribir esto!

Podría razonar sobre estas ecuaciones.

Podría extraer términos específicos de la ecuación 4.7 y decirle lo que significaban: por ejemplo, [matemáticas] e ^ {- j \ Phi_n} [/ matemáticas] se refiere básicamente al cambio de fase en una onda de luz a medida que viaja a través de la n – th capa de material, y el factor general de [matemáticas] 1 / {t_ {n-1, n}} [/ matemáticas] tiene sentido intuitivo porque [matemáticas] x’_L \ gg x_R [/ matemáticas] y [matemáticas] y’_L \ gg y_R [/ math] si no hay transmisión de luz desde la capa n -1 hacia la capa n .

En cualquier caso, todo esto tenía sentido para mí 🙂

Pero fue entonces cuando las cosas comenzaron a complicarse …

Tomé este modelo de matriz de transferencia y lo apliqué a una estructura de múltiples capas de grafeno de una sola capa en SiO₂ en Si (este modelo ya había sido utilizado en un artículo publicado por Blake et al y estaba revisando su trabajo en este punto) :

Calculé la intensidad de reflectancia para esta estructura. Fue bastante tedioso, pero lo resolví de las matrices de transferencia con lápiz y papel y coincidió con el resultado de Blake (¡uf!).

Esta ecuación es correcta ; es una fórmula para la reflectancia de esta estructura, dado el modelo relativamente simple anterior y las definiciones directas de los coeficientes individuales.

Pero se está volviendo muy difícil para mí decir: ” Sé lo que significa esta ecuación “. Tengo cierta intuición básica sobre cómo un cambio en r ₀₁ debería afectar el resultado, pero tengo muy poca intuición sobre los efectos relativos de r ₁₂ y r ₂₃.

Sin embargo, podría usar esta ecuación para calcular el contraste esperado de grafeno en sustratos de varios grosores y mostrar cómo las mediciones reales de Blake se alinearon con estos cálculos:

Más adelante en el capítulo, utilicé el mismo método de matriz de transferencia para derivar fórmulas de reflectancia para estructuras multicapa más complicadas, como el grafeno con una capa de impureza ópticamente transparente encima. Aquí utilicé una biblioteca matemática simbólica (¡SymPy!) Para calcular el resultado correcto; hacerlo bien y verificarlo con lápiz y papel hubiera sido demasiado tedioso y demasiado lento para mí.

Nuevamente, utilicé el resultado de la ecuación 4.23 para predecir algunos números y compararlos con los resultados de mis propios experimentos y los de otros. Pero en este punto realmente no puedo decir que entiendo lo que significa toda esta ecuación. Tengo muy poca intuición sobre cómo los términos individuales se relacionan con el todo. Por ejemplo, ¿cuáles serían los efectos relativos en el resultado general de variar el grosor de la capa 2 frente a la capa 3? Si esta hubiera sido una pregunta importante para mí, podría haber reorganizado los términos y la presentación de esta ecuación para tratar de dilucidar estos efectos, tal vez con la ayuda de unos pocos gráficos, y de hecho grafiqué algo similar en mi tesis.

Escribí esta ecuación, y creo que se deriva correctamente del modelo de matriz de transferencia, y creo que la usé adecuadamente para modelar la realidad física del sistema que estaba estudiando. ¿Pero conozco esta ecuación? Apenas en absoluto.

Answer 5

No es realmente una ecuación per se (aunque puede expresarse como un sistema de ecuaciones), sino de la página de Wikipedia Fórmula para números primos:
”
es una desigualdad polinómica en 26 variables, y el conjunto de números primos es idéntico al conjunto de valores positivos asumidos por el lado izquierdo como las variables a , b , …, z rango sobre los enteros no negativos.

Un teorema general de Matiyasevich dice que si un conjunto está definido por un sistema de ecuaciones de diofantina, también puede definirse por un sistema de ecuaciones de diofantina en solo 9 variables. Por lo tanto, hay un polinomio generador de primos como el anterior con solo 10 variables. Sin embargo, su grado es grande (del orden de 10 ^ 45). Por otro lado, también existe tal conjunto de ecuaciones de grado solo 4, pero en 58 variables. (Jones 1982) “.

¡Los primos son difíciles!

Answer 6

La pregunta en sí es, por supuesto, mal planteada, por lo que lo mejor que puede hacer una respuesta es agregar otro candidato divertido o dos. Dicho esto, permítanme nominar a ShaderToy como una gran fuente de “ecuaciones largas”.

Un sombreador de fragmentos es una función que toma las coordenadas de un píxel como entrada y devuelve el color de ese píxel. A veces puede usar algunas entradas adicionales (por ejemplo, tiempo t o texturas externas). Los sombreadores de fragmentos se usan normalmente como una pequeña parte de una tubería de creación de imágenes mucho más compleja en aplicaciones de gráficos por computadora (por ejemplo, juegos 3D). Sin embargo, pueden ser de cierto interés estético por sí mismos, porque, después de todo, proporcionar una función que devuelve un color de píxel para un píxel dado en un punto de tiempo dado es exactamente lo que se necesita para crear una secuencia de video.

Una función de sombreador de fragmentos [en OpenGL] se describe en un lenguaje llamado GLSL, que se parece mucho a un lenguaje de programación tipo C “real”. Sin embargo, no se deje engañar por las apariencias. GLSL está muy restringido y solo permite describir funciones que se ejecutan en un número fijo de pasos. En este sentido, no es muy diferente de la notación matemática habitual para las “ecuaciones”, con algo de azúcar de sintaxis agregado para la compacidad.

Por lo tanto, algunas de las ecuaciones matemáticas más largas, que también describen algunas imágenes visuales sorprendentes, se pueden encontrar en ShaderToy. Navega y sorpréndete.

Answer 7

La solución a una ecuación quíntica general en términos de funciones hipergeométricas mediante la reducción de Bring-Jerrard podría ser un buen candidato. No se puede reproducir aquí, ya que requiere un trozo de papel ” del tamaño de un asteroide grande ” y, por lo tanto, probablemente sería un archivo enorme en un disco duro. Intenta superar eso.

Fuente:
Página en arxiv.org

El documento tiene al final algunas de las ecuaciones en notación por computadora, pero no están conectadas entre sí. Cuando se conectan, se expanden para formar la ecuación completa en tamaño de “asteroide grande”.

Answer 8

Prefacio: Ciertamente, esta no es la ecuación más larga conocida, pero es muy realista y, sin embargo, considerablemente más larga que la mayoría de las ecuaciones que uno ve.

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Me sorprende ver que nadie ha mencionado la Fórmula Quartic , que proporciona los ceros al polinomio general de cuarto grado, es decir, soluciones a la ecuación.

[matemáticas] ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + f = 0 [/ matemáticas]

para [math] a, b, \ ldots, f \ in \ mathbb {R} [/ math] (restringido a los reales por simplicidad).

La fórmula cuadrática es bien conocida y bastante corta,

[matemáticas] x = \ frac {-b \, \ pm \, \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

La fórmula cúbica, para un polinomio de tercer grado, es aún más larga, a pesar de ser de tamaño modesto y ciertamente dentro de lo razonable para memorizar, aunque computacionalmente tedioso en la práctica. Está debajo *.

Sin embargo, la fórmula cuántica es realmente masivo (Tenga en cuenta que las soluciones generales para polinomios de grado uno, dos, tres y cuatro son resultados bastante clásicos, que no requieren una gran cantidad de “matemáticas avanzadas”, a pesar de ser algo largas en computación e ingeniosas en descubrimiento).

La solución al cuartico general está debajo de *. Querrá hacer clic para ampliar.

No existe una solución general (en radicales) para el quintic, o polinomio de quinto grado, como lo demostró Abel seguido por Galois en el siglo XIX. Este resultado es bien conocido, tanto que la mayoría de los cursos de álgebra abstracta de pregrado lo tocan, y la prueba de Galois es muy significativa porque es una aplicación útil de la teoría de grupos.

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* Claramente, no escribí esto manualmente. Las imágenes están disponibles en Wikipedia, al igual que una buena discusión de las fórmulas.

Answer 9

Recientemente estuve trabajando en un libro que incluía una sección sobre formas que provienen de la combinación de círculos. Cuando multipliqué dos círculos implícitos, terminé con una ecuación que contenía 10,232 términos. Produjo una hermosa forma de doblete horizontal que se parecía a una gota de agua emergente. Para mi sorpresa, esta ecuación era numéricamente estable y pude interactuar con ella, aunque lentamente en mi computadora. He estado haciendo cálculos y matemáticas computacionales durante algún tiempo, y esta es personalmente la ecuación más larga que he encontrado. Tendré curiosidad si los matemáticos mejores que yo (y hay MUCHOS de ellos) podrán colapsar este formulario en menos términos. Especulo que esta forma probablemente aparece en la naturaleza a escalas muy pequeñas, como cuando los fotones se dividen en cristales de niobato de litio para producir pares enredados. Si quieres saber más, puedes encontrar el título en Amazon.

Answer 10

Aquí hay otro par interesante de largas ecuaciones. Deje [math] I (n) [/ math] denotar el número de puntos de intersección de las diagonales de un polígono regular, y deje que [math] R (n) [/ math] denote el número de regiones en las que se corta el polígono . (n es el número de lados del polígono)

Para abreviar la notación, deje que [math] \ delta_m (n) [/ math] denote el valor de verdad de [math] m \ mid n [/ math]. Entonces:

[matemáticas] I (n) = {n \ elegir 4} + \ frac {-5n ^ 3 + 45n ^ 2-70n + 24} {24} \ cdot \ delta_2 (n) [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ frac {3n} {2} \ cdot \ delta_4 (n) + \ frac {-45n ^ 2 + 262n} {6} \ cdot \ delta_6 (n) +42 \ delta_ {12} (n) [/matemáticas]

[matemáticas] + 60n \ cdot \ delta_ {18} (n + 35n \ cdot \ delta_ {24} (n) -38n \ cdot \ delta_ {30} (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] – 82n \ cdot \ delta_ {42} (n) -330n \ cdot \ delta_ {60} (n) -144n \ cdot \ delta_ {84} (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] – 96n \ cdot \ delta_ {90} (n) -144n \ cdot \ delta_ {120} (n) -96n \ cdot \ delta_ {210} (n) [/ matemáticas]

y:

[matemáticas] R (n) = \ frac {n ^ 4-6n ^ 3 + 23n ^ 2-42n + 24} {24} [/ matemáticas]
[matemáticas] + \ frac {-5n ^ 3 + 42n ^ 2-40n-48} {48} \ cdot \ delta_2 (n) – \ frac {3n} {4} \ cdot \ delta_4 (n) [/ math]
[matemáticas] + \ frac {53n ^ 2 + 310n} {12} \ cdot \ delta_6 (n) + \ frac {49n} {2} \ cdot \ delta_ {12} (n) [/ math]

[matemáticas] + 32n \ cdot \ delta_ {18} (n) + 19n \ cdot \ delta_ {24} (n) -36n \ cdot \ delta_ {30} (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] – 50n \ cdot \ delta_ {42} (n) -190n \ cdot \ delta_ {60} (n) -78n \ cdot \ delta_ {84} (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] – 48n \ cdot \ delta_ {90} (n) -78n \ cdot \ delta_ {120} (n) -48n \ cdot \ delta_ {210} (n) [/ math]

¡Quién hubiera pensado que un problema geométrico “simple” tendría una respuesta tan complicada!

Answer 11

Como estudiante de posgrado, ‘re-implementé’ las expresiones esquemáticas y simétricas de tercer orden para la formulación de Brandow de la teoría de la perturbación de referencia múltiple

Teoría de la perturbación de hamiltonianos efectivos

El “libro” de ecuaciones consistía en cientos de diagramas de conchas abiertas escritos a mano, y tenía más de 1 pulgada de grosor.

La base de código optimizada resultante fue de varios cientos de miles de líneas de denso código Fortran. Se requirieron 8 horas para compilar y 16 horas para vincular en el Cray YMP (en ese momento)

Answer 12

No lo sé, pero la relatividad general es muy corta y muy larga. En su forma más corta, es
[matemáticas] R = T [/ matemáticas]
si asume las unidades y convenciones correctas. Con unos pocos supuestos menos, las ecuaciones de campo de Einstein son
[matemáticas] R_ {ab} – {\ textstyle 1 \ over 2} R \, g_ {ab} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T_ {ab}. \, [/ math]
Estos se expanden a 16 ecuaciones diferenciales acopladas, que se reducen a 10 por simetría. Escribirlos en forma escalar de la escuela secundaria tomaría alrededor de 100 páginas.

Answer 13

Hay infinitas ecuaciones que son infinitamente largas en matemáticas. Por ejemplo, tome la serie de Taylor de cualquier función analítica no polinómica.

O también puede tomar la serie de Fourier de cualquier función en un intervalo finito.

Answer 14

Podrías tener el Modelo Estándar de Física, pero no creo que eso realmente cuente como una ecuación.

¿Qué pasa con la solución a todas las ecuaciones cuárticas?

Creo que otra respuesta la tiene completa. Sin embargo, esa es una ecuación bastante larga.

Answer 15

¿Qué quieres decir con “conocido” y qué cuentas tanto tiempo? Cualquier ecuación se puede hacer todo el tiempo que desee, por lo que no hay una ecuación más larga. Sin embargo, si por “conocido” te refieres a la ecuación más larga jamás escrita, hay alguna ecuación más larga conocida. Sin embargo, fácilmente podríamos hacer una nueva ecuación más larga conocida al agregar +0 al final de esa ecuación.

La respuesta a la pregunta también depende de cuánto cuentes. ¿Es y = sin (x) más largo que y = e ^ x solo porque consta de más caracteres, tiene la misma longitud porque tiene el mismo número de funciones o es más corto porque la función seno solo requiere una entrada mientras que la exponenciación requiere dos (la base y el exponente)? ¿1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 2 cuenta como infinitamente largo? Si es así, ¿todavía cuenta como infinitamente largo si lo escribimos en notación sigma?

Answer 16

La ecuación más grande que conozco es la solución a la ecuación de Quartic [matemática] ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemática]:

[matemáticas] x = – \ frac {b} {4a} \ pm (\ frac {1} {2} \ sqrt {- \ frac {2} {3} (\ frac {8ac-3b ^ 2} {8a ^ 2}) + \ frac {1} {3a} (\ sqrt [3] {\ frac {2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace + \ sqrt {(2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace) ^ 2-4 (c ^ 2-3bd + 12ae) ^ 3}} {2}} + \ frac {c ^ 2-3bd + 12ae} {\ sqrt [3] {\ frac { 2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace + \ sqrt {(2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace) ^ 2-4 (c ^ 2-3bd + 12ae) ^ 3 }} {2}}})}) \ pm \ frac {1} {2} \ sqrt {-4 (\ frac {1} {2} \ sqrt {- \ frac {2} {3} (\ frac { 8ac-3b ^ 2} {8a ^ 2}) + \ frac {1} {3a} (\ sqrt [3] {\ frac {2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace + \ sqrt {( 2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace) ^ 2-4 (c ^ 2-3bd + 12ae) ^ 3}} {2}} + \ frac {c ^ 2-3bd + 12ae} { \ sqrt [3] {\ frac {2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace + \ sqrt {(2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace) ^ 2-4 (c ^ 2-3bd + 12ae) ^ 3}} {2}}})}) ^ 2-2 (\ frac {8ac-3b ^ 2} {8a ^ 2}) + \ frac {\ frac {b ^ 3- 4abc + 8a ^ 2d} {8a ^ 3}} {\ frac {1} {2} \ sqrt {- \ frac {2} {3} (\ frac {8ac-3b ^ 2} {8a ^ 2}) + \ frac {1} {3a} (\ sqrt [3] {\ frac {2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace + \ sqrt {(2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2 -72ace) ^ 2-4 (c ^ 2-3bd + 12ae) ^ 3}} {2}} + \ frac {c ^ 2-3bd + 12ae} {\ sqrt [3] {\ frac {2c ^ 3- 9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace + \ sqrt {2c ^ 3-9bcd + 27b ^ 2e + 27ad ^ 2-72ace ^ 2-4 (c ^ 2-3bd + 12ae) ^ 3}} {2}}})}}} [/ matemáticas]