¿Qué es una ecuación complicada que es igual a 42?

Answer 1

Esto apareció recientemente en Hacker News.
42

Pegar el artículo aquí por conveniencia:

En The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy de Douglas Adams, el número 42 es la “Respuesta a la última pregunta de la vida, el universo y todo”. ¡Pero no dijo cuál era la pregunta!
Como hoy es el Día de las Toallas, permítanme revelar eso ahora.
Si intentas que varios polígonos regulares se encuentren cómodamente en un punto del avión, ¿cuál es el mayor número de lados que puede tener cualquiera de los polígonos? La respuesta es 42.
La imagen muestra un triángulo equilátero, un heptágono regular y una reunión regular de 42 gones cómodamente en un punto. Si haces los cálculos, verás que la razón por la que esto funciona es que
En realidad hay 17 soluciones de
con y cada uno de ellos da una manera para que tres polígonos regulares se encuentren cómodamente en un punto. ¡Pero esta solución particular presenta el mayor número posible!
¿Pero por qué es tan importante? Bueno, resulta que si buscas números naturales eso hace
tan cerca de 1 como sea posible, y aún menos de 1, lo mejor que puedes hacer es Viene dentro de igualar 1, ya que
¿Y por qué es esto importante? Bueno, suponga que está tratando de hacer una dona con al menos dos agujeros que tenga el número máximo de simetrías. Más precisamente, suponga que está tratando de hacer una superficie de Riemann con género que tiene el número máximo de simetrías. Luego necesita encontrar un mosaico altamente simétrico del plano hiperbólico por triángulos cuyos ángulos interiores sean y y necesitas
para que estos triángulos encajen en el plano hiperbólico.
Por ejemplo, si tomas obtienes este mosaico:
Un truco inteligente le permite acurrucarse en el plano hiperbólico y obtener una superficie de Riemann como máximo
simetrías
Entonces, para obtener tantas simetrías como sea posible, desea hacer tan pequeño como sea posible! Y gracias a lo que dije, lo mejor que puedes hacer es
Entonces, su superficie puede tener como máximo
simetrías Esto se llama teorema del automorfismo de Hurwitz. El número 84 parece misterioso cuando lo ves por primera vez, pero está allí porque es dos veces 42.
En particular, el famoso matemático Felix Klein estudió la dona más simétrica con 3 agujeros. Es una cosa realmente sorprendente, llamada curva cuántica de Klein:
Tiene
simetrías Ese número también se ve misterioso cuando lo ves por primera vez. Por supuesto, es la cantidad de horas en una semana, pero la verdadera razón es porque es cuatro veces 42.
Si cuenta cuidadosamente los triángulos en la imagen de arriba, obtendrá 56. Sin embargo, estos triángulos son equiláteros, o al menos lo serían si pudiéramos incrustar la curva cuártica de Klein en el espacio 3d sin distorsionarla. Si dibujamos todos los triángulos más pequeños cuyos ángulos interiores son y cada triángulo equilátero se subdividiría en 6 triángulos más pequeños, y habría un total de triangulos. Pero por supuesto
La mitad de estos triángulos más pequeños serían ‘zurdos’ y la otra mitad serían ‘diestros’, y habría una simetría que enviaría un triángulo elegido a cualquier otro triángulo de la misma mano, para un total de
simetrías (es decir, transformaciones conformales, sin contar reflexiones).
Pero, ¿por qué es esto la respuesta a la última pregunta de la vida, el universo y todo? No estoy seguro, pero tengo una teoría loca. ¡Quizás toda la materia y las fuerzas están hechas de pequeñas cuerdas! A medida que se mueven, trazan las superficies de Riemann en el espacio-tiempo. Y cuando estas superficies son lo más simétricas posible, alcanzando el límite establecido por el teorema del automorfismo de Hurwitz, el tamaño de su grupo de simetría es un múltiplo de 42, gracias a las matemáticas que acabo de describir.
Rompecabezas
Rompecabezas 1. Considere soluciones de
con enteros positivos y mostrar que el mayor valor posible de es
Puzzle 2. Considerar soluciones de
con enteros positivos y mostrar que el mayor valor posible de es
Agradecimientos y referencias.
Para más detalles, vea mi página sobre la curva cuártica de Klein, y especialmente la sección sobre superficies increíblemente simétricas. Las sumas de recíprocos de números naturales se denominan “fracciones egipcias” y tienen profundas conexiones con la geometría; Para más información sobre esto, vea mi artículo sobre las inclinaciones de Archimedean y las fracciones egipcias.
Tyler hizo la imagen de un triángulo, un heptágono y 42 gones (también conocido como tetracontakaidigon), y puedes ver las 17 formas de conseguir que 3 polígonos regulares se unan cómodamente en un vértice en Wikipedia. De estos, solo 11 pueden ocurrir en un mosaico uniforme del avión. El triángulo, el heptágono y el 42-gon no embaldosan el avión, pero puedes ver algunos intentos encantadores de hacer algo con ellos en el sitio web de Kevin Jardine Congruencia imperfecta:
La imagen de la curva cuántica de Klein fue hecha por Greg Egan, y también debe consultar su página sobre la curva cuántica de Klein.

“Buenos días”, dijo por fin un pensamiento profundo.
“Er … buenos días, Oh Pensamiento Profundo” dijo Loonquawl nerviosamente, “¿tienes … er, eso es …”
“¿Una respuesta para ti?” Interrumpió el pensamiento profundo majestuosamente. “Sí tengo.”
Los dos hombres se estremecieron con expectación. Su espera no había sido en vano.
“¿Realmente hay uno?” Respiró Phouchg.
“Realmente hay uno”, confirmó Deep Thought.
“¿A todo? ¿A la gran Cuestión de la Vida, el Universo y todo?
“Si.”
Ambos hombres habían sido entrenados para este momento, sus vidas habían sido una preparación para ello, habían sido seleccionados al nacer como los que presenciarían la respuesta, pero aun así se encontraron jadeando y retorciéndose como niños emocionados.
“¿Y estás listo para dárnoslo?”, Instó Loonsuawl.
“Soy.”
“¿Ahora?”
“Ahora”, dijo Pensamiento profundo.
Ambos se lamieron los labios secos.
“Aunque no lo creo”, agregó Deep Thought. “Que te va a gustar”.
“¡No importa!” Dijo Phouchg. “¡Debemos saberlo! ¡Ahora!”
“¿Ahora?”, Preguntó Pensamiento Profundo.
“¡Si! Ahora…”
“Está bien”, dijo la computadora, y se calmó de nuevo. Los dos hombres estaban inquietos. La tensión era insoportable.
“Realmente no te va a gustar”, observó Deep Thought.
“¡Dinos!”
“Muy bien”, dijo Pensamiento Profundo. “La respuesta a la gran pregunta …”
“Si…!”
“De la vida, el universo y todo …” dijo Pensamiento profundo.
“Si…!”
“Es …” dijo Pensamiento Profundo, y se detuvo.
“Si…!”
“Es…”
“Si…!!!…?”
“Cuarenta y dos”, dijo Pensamiento Profundo, con infinita majestad y calma. – Douglas Adams

Answer 2

Tendré que decir que si estás buscando la respuesta a la vida, el universo y todo lo relacionado con las matemáticas, simplemente estás buscando el lugar equivocado. La física es donde radica la respuesta.

¿Cuál es el tamaño de la estructura más grande que entendemos hasta ahora? El diámetro del universo observable es de 93 mil millones de años luz (8.80e + 26 m)

¿Y la estructura más pequeña a la que puedes llegar (sin romper las cosas usando física de partículas, eso es)? El ion positivo simple del hidrógeno, un protón, que tiene un radio de carga de 0.8775 fm (8.78e-16 m)

La relación de estas cantidades es 1.00e + 42. Entonces 42 realmente significa el rango de tamaño de la naturaleza en su estado virgen. Empujar este límite reduciéndolo cada vez más es el desafío de la naturaleza al que estamos respondiendo.

Answer 3

Infinito divino

Aunque obtener una ecuación simple para 42 me parece más difícil … ¡tu deseo es mi orden!

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {n ^ 3} {{\ left (\ frac {13 ^ 2 + \ sqrt {10 ^ 3 + 3 ^ 2} + \ sqrt {6 ^ 4 + 2 * 5 ^ 2 + 2 * {13} ^ 2 \ sqrt {10 ^ 3 + 3 ^ 2}}} {2 ^ 2 42} \ right)} ^ n} = 42 [/ math]

Validación numérica:

suma (n ^ 3) / ((1 / (4 * 42) (13 ^ 2 + sqrt (10 ^ 3 + 3 ^ 2) + sqrt (6 ^ 4 + 2 * 5 ^ 2 + 2 * 13 ^ 2 * sqrt (10 ^ 3 + 3 ^ 2)))) ^ n) con n de 1 a infinito

PS1: Wolfram quizás tenga dudas, ¡pero la respuesta es exacta!
PS2: ¿Notó el ’42’ en el denominador? Ese no es el truco aquí. Cambiarlo a otro número entero m no cambia el límite a m .