Cómo resolver [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ cdots \ int_0 ^ 1 \ frac {dx_1 \, dx_2 \, \ cdots \, dx_n} {1-x_1x_2 \ cdots x_n} [/ math]

Answer 1

Expandiéndose primero como una serie geométrica y luego empleando el teorema de Fubini-Tonelli,

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ cdots \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {dx_1dx_2 \ cdots dx_n} {1-x_1x_2 \ cdots x_n} \\ & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ cdots \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (x_1x_2 \ cdots x_n \ right) ^ k dx_1dx_2 \ cdots dx_n \ tag {1} \\ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ { \ infty} \ dfrac {1} {(1 + k) ^ n} \\ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {k ^ n} \\ & = \ zeta (n) \ end {align} \\ \ tag * {} [/ math]

Aquí [math] \ zeta (n) [/ math] es la función zeta de Riemann definida como [math] \ zeta (s) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s}, \, \ Re (s)> 1 [/ matemáticas]

Answer 2

Sugerencia: expandir como una serie geométrica. Integrar término por término.

La respuesta resulta ser la función riemann zeta evaluada en n. Si nos hubiéramos integrado a algún límite superior x que no sea 1, obtendríamos un polilogaritmo [matemático] Li_n (x) [/ matemático].